二阶具变号位势的离散Hamilton系统的周期解*

邓小青

(湖南商学院 信息学院，长沙 410205)

利用临界点理论研究Hamilton系统的次调和解和周期解的存在性，一直是微分方程与差分方程定性理论中的热点问题［1-7］，特别地，研究具变号位势的 Hamilton系统的次调和解和周期解也是很重要的课题［1，4］.

考虑二阶离散Hamilton系统:

其中b(·)，A(·)分别是周期为T(正整数)的实函数和未定的实对称矩阵函数.主要结果为:

定理1 假设b(·)，A(·)，V(·)≥0满足以下条件:

(V1)V∈C1(RN，R)，存在a1＞0，a2≥0，β ＞2，使得V(x)≥a1|x|β-a2，∀x∈RN;

-l2))及r1＞0，使得V(x)≤a3|x|2，∀x∈RN，|x|≤r1，其中=max{b

则方程(1)至少有两个非平凡T-周期解.

1 变分结构

N是给定的正整数，对任意给定的正整数T，定义向量空间为ET={x= {xn}:xn+T=xn，xn∈RN，n∈Z}.且ET上的内积和范数分别定义为:

其中xn·yn(n∈Z)表示RN中的内积，表示RN中的范数.

定义线性映射为L:E→RTN为Lx=(x，…，x，x，…，x，…，x，…，x)T，∀x∈E，其中·T表示

T1，1T，11，2T，21，NT，NT向量或矩阵的转置.显然‖x‖=，(ET＜·，· ＞)与RTN是线性同胚的.

在ET上定义泛函F为:

其中M，B见文献［3］.易知x∈ET是F的临界点当且仅当x={xn}是(1)的T-周期解.

若令W=KerML={x∈ET:MLx=0}={x∈ET:x={v}，v∈RN}，则W是ET关于LTML的不变子空间，再令Y是W关于ET的直交补空间，即ET=Y⊕W，则Y也是ET关于LTML的不变子空间.

2 主要结论的证明

引理1 在定理1的假设条件下，泛函F满足P.S.条件.

证明 假设F(x(k))有界及F'(x(k))→0(k→∞)，要证{x(k)}在ET存在收敛的子序列，只须证‖x(k)‖有界.F(x(k))有界蕴含存在C＞0，使得对任意k∈N有|F(x(k))|≤C.再由条件(V1)和(A)有:

因β＞2，式(3)意味着‖x(k)‖有界，因此泛函满足P.S.条件.证毕.

引理2 在定理1的假设条件下，泛函F满足环绕定理［6］的第1个条件.

证明 任意x∈Y及‖x‖≤ρ=＞0，由条件(V2)知;

因此泛函F满足环绕定理［6］的第1个条件.证毕.

引理3 在定理1的假设条件下，泛函F满足环绕定理［6］的第2个条件.

证明 显然F(0)=0.选择e∈Y使得en+T=en，∀n∈Z，‖e‖ =1.定义Q(R)=，则∂Q(R)=Q1∪Q2∪Q3，其中Q1={z∈Z:|v|≤R}，Q2={re+z:|v|=R，r∈［0}，Q3={re+z:|v|≤R，r=

任意z∈Q1，由条件(V1)(A)(B)知:再由Hölder不等式有:

+ba2，假设g'(r0)=0，有g(r)≤g(r0)，∀r∈［0，］，而且g(r0)是与R无关的常数.于是有F(re+z)≤+g(r0).又因 β＞2，所以存在R1＞r1使得对任意R＞R1，有:

另一方面，类似(3)的证明有:

注3 如果定理1及注1与注2中l1=0且a2=0，即A(n)在Z(1，T)上都是半正定或正定的，且V(z)关于z在无穷远点是超二次的，那么去掉条件(B)时，定理1的结论仍然成立.

［1］ANTONACCI F.Existence of periodic solutions of Hamiltonian systems with potential indefinite in sign［J］.Nonlinear Analysis，1997，29:1353-1364

［2］GUO Z M，YU J S.Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations［J］.Science in China(Series A)，2003，46:506-515

［3］ZHOU Z，YU J S，GUO Z M，et al.Periodic solutions of higher-dimensional discrete systems［J］.Proceeding of the Royal Society of Edinburgh，2004，134A:1013-1022

［4］YU J S，DENG X Q，GUO Z M，et al.Periodic solutions of a discrete Hamiltonian system with a change of sign in the potential［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，324:1140-1151

［5］DENG X Q.Periodic Solutions for Subquadratic Discrete Hamiltonian Systems［J］.Advances in Difference Equations.2006(2007)，16

［6］RABINOWITZ P H.Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations［A］.In:CBMS Regional Conference Series in Mathematics Vol.65.Providence［C］.RI:American Mathematical Society，1986

［7］王少敏，熊明，茶国智.一类非自治二阶哈密顿系统的周期解的存在性［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2008，25(1):5-8