调和方程Dirichlet外问题的Green函数研究

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

调和方程作为偏微分方程中最典型的一种，在研究调和场理论与电磁场的性质时常会遇到，而Green函数是求解调和方程边值问题的重要方法之一，在船舶磁场的计算[1]与物理大地测量学[2]等方面都有应用，因此对调和方程Green函数的研究既有理论意义又有实用价值。传统教材定义调和方程的Green函数有2种方式，分别是基本解方式[3]和狄拉克δ函数方式[4]，文献[5]还讨论了2种定义方式的等价性，而且几乎以Dirichlet内问题进行讨论,只有文献[2]讨论了外问题的Green函数，但没有给出满足的条件。为此，笔者在以基本解方式定义Green函数的基础上，导出了有界区域外部调和函数的积分表达式，并在此基础上给出了Dirichlet外问题的Green函数及其满足的条件，最后用此Green函数给出了调和方程球域外Dirichlet问题的解❶。

1 有界区域外部调和函数的积分表达式

(1)

以M0为球心、充分小的正数ε为半径作球面Γε,记小球面所包围的区域为Kε⊂Ω′。再以原点O为球心、以任意大的正数R为半径作球面ΓR，使得ΓR包含Γ和Γε，并记ΓR与Γ所夹的区域为ΩR。在以Γ∪Γε∪ΓR为边界的区域ΩRKε上,对调和函数u,v应用格林第二公式[3]可得：

即:

(2)

从而:

在大球面ΓR上,由文献[6]知：

由三角不等式rOM≤rOM0+rM0M可得：

在式(2)中,令ε→0，R→+∞可得：

(3)

式中,ΓR的法向量指向内侧。

2 Dirichlet外问题的Green函数及其满足的条件

作以原点O为球心，任意大的正数R为半径的球面ΓR，使得ΓR包含Γ，并记ΓR与Γ所夹的区域为ΩR。在以Γ∪ΓR为边界的区域ΩR上,对调和函数u、g应用格林第二公式[3]可得：

即：

(4)

在球面ΓR上,由于:

在式(4)中,令R→+∞可得：

(5)

式中，Γ的法向量指向内侧。

式(3)减去式(5)可得：

记：

并注意到u、g满足的边界条件，得到：

(6)

(7)

3 应 用

图1 静电源像法求Green函数示意图

作为Dirichlet外问题Green函数的应用，下面求解以原点O为球心，R为半径的球面KR外的Dirichlet外问题：

(8)

其中,u在KR上有一阶连续偏导数。

这是感应电荷的等效电位，其中q待定。

M处的总电位为：

由余弦定理及关系式ρ0ρ1=R2可得：

其中,γ是ρ0与ρ之间的夹角。显然g(M,M0)满足条件(7)。

由式(6)化为球坐标形式可得问题(8)的解为：

其中,cosγ=cosθcosθ0+sinθsinθ0cos(φ-φ0)。

[1]周耀忠.格林函数在船舶磁场计算中的应用[J].中国修船，2006，19(5)：29～31.

[2]张传定，陆仲连.球域调和函数外部边值问题的格林函数解[J].解放军测绘学院学报，1994，11(3)：161～165.

[3]谷超豪.数学物理方程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2002.68～95.

[4]于涛.数学物理方程与特殊函数[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2006.99～116.

[5]柯导明，陈军宁.数学物理方法[M].北京：机械工业出版社，2008.297～311.

[6]赵天玉，刘庆.反演变换在调和函数研究中的应用[J].长江大学学报(自然科学版)，2009，6(3)：N1～4.