?如何我解决几何体的外接球问题

■湖南省湘潭县第一中学1 5 0 3班 钟可依

我们在解题时,常常会碰到一类求几何体的外接球的表面积、体积问题。经过归纳总结发现,解决这类问题的关键是找到外接球的球心,而找球心有常见的三类题型。

类型一：外接球的球心即几何体底面多边形的外心

解：如图1,易得S C的中点O是△S A C的外心,O也为几何体外接球的球心,所以R

图1

类型二：外接球球心在底面的射影即为底面多边形的外心

此类题一般先过底面多边形的外心作底面的垂线,在垂线上设球心O,构造直角三角形,再利用勾股定理求出R。

解：如图2所示,H为底面A BC D的外心,SH⊥底面A BC D。设球心为O,在Rt△OBH中,由勾股定理得解得

图2

图3

解：由三视图知几何体为四棱锥(如图4)。可设球心O在过外心H的垂线l上,O C=O S=R,ON=HM=1,MN=OH=在R t△O S N中,R2=1+(2选B。

R2-2,S N=2-R2-2。

图4

类型三：外接球球心即为长方体或正方体的中心

此类几何体通常由长方体或正方体切割而成,它的外接球就是长方体或者正方体的外接球,球心即为长方体或正方体的中心。

解：如图5所示,将三棱锥S-A B C置于正方体A B C D-MNE S中,则三棱锥S-A B C的外接球即正方体的外接球。则有=6 π。

图5

(责任编辑 徐利杰)