基于M F-DFA的股市多重分形结构研究

李海洋,王 磊

(河南工业职业技术学院,南阳 473009)

0 引 言

股票市场是一个非常复杂的经济系统,关于其波动规律的研究分析一直是人们所热衷的话题.被誉为＂分形之父＂的分形学创始人Mandelbrot指出,如果把股票市场走势图按一定比例放大或缩小,每年、每月的波动和每周甚至每日的波动,在一定范围内,趋势都是极其相似的.而这种体现＂自相似＂性的股市曲线,完全可以利用适用于分形理论的研究方法进行分析判断.1997年,Mandelbrot创立了著名的资产收益率多重分形模型[1],用于描述金融资产价格变化规律,他进一步指出,多重分形分析可以复现波动剧烈的金融交易,提供关于市场动向的预计值,从而显示出变幻莫测的金融市场的某些规律性.

多重分形去趋势波动分析法(MF-DFA)是Kantelhardt于2002年提出的[2],该方法在研究分形信号时,能够很好的揭示非平稳时间序列中的长范围相关性.自其创立之日起,MF-DFA就被频繁的应用于研究金融股票市场的多重分形结构,并取得了一些有益的结论.本文依据分形理论,基于MF-DFA方法,选取了国内外股票市场中的一些数据,即每日收益来研究分析其多重分形结构,并给出了结论.

1 MF-DFA简介

去趋势波动分析法(DFA)[3]是目前常用来分析分形信号性质和确定非稳态时间序列相关性的一种数学工具,而MF-DFA是对DFA的一种推广,其步骤如下:

(1)首先对于一个原始的时间序列x(i),i=1,2,…,N,我们考察它的轮廓(Profile)其中N表示该时间序列的长度表示取平均值.

(4)将F2(v,n)在所有具有长度n的部分上作平均,相应的q次波动函数可以由下式给出:

(5)Fq(n)的主要性质是,对于一个分形信号,它揭示了幂定律的尺度关系.固定阶数q,通过在双对数图中分析,Fq(n)与的关系如下:

此时,对每一个分割长度n,可求出相应的一个波动函数值Fq(n),作出ln Fq(n)～ln n函数关系图,其斜率即为 q阶广义 Hurst指数 h(q).当h(q)不依赖于q,即h(q)为常数时,这就是单分形的情况;在多重分形的情况下,h(q)关于q是单调下降的.

(6)通过以上步骤而得到的h(q)与Renyi指数τ(q)相关,具体关系如下:

其中α刻画了奇异性强度,f(α)即被看成是原序列中具有奇异性α的子集的分形维数.

2 股市多重分形结构研究

在这里我们选取了一些主要国家股票市场中的每日收益数据来进行多重分形研究,使用的数据是从www.finance.yahoo.com上获得的,以下分析过程中相关数据的运算和图像的绘制均由MATLAB完成.

首先是18组来自不同国家的股票价格指数,选取的是2000-2009年这段时间内各个股市每日收盘指数,忽略其中的非交易日,每个序列大约有2500-3500个数据.这18组数据分别来自:SP500(美国)、GSPTSE(加拿大)、IPC(墨西哥)、MERV(阿根廷)、CAC(法国)、DAX(德国)、FTSE100(英国)、MIBTEL(意大利)、OSEAX(挪威)、XU100(土耳其)、NIKKEI(日本)、KOSPI(韩国)、STI(新加坡)、HSI(香港)、ISEC weighted(台湾)、SSEC(中国大陆)、BSE(印度)、KLSE(马来西亚).在这里需要指出的是,我们获得的是原始数据是大盘每日收盘的价格序列,而考察的是它的对数价格增量

由前面所述步骤,首先计算q次波动函数F q(n),对(5)式两边取对数,得到一组h(q).从图1中可以看出(以 SP500、DAX、HSI、NIKKEI为例),对应不同的q,h(q)是不同的,并且是关于q的单调下降函数,即考察的时间序列符合重分形的特征.

图1 lnFq(n)～lnn函数关系图,q=8,5,2,-1,-4

H=h(2)被称为Hurst指数.当序列是完全随机的时候,;当序列具有正相关性时,H＞;当序列具有反相关性时,.我们将这18组数据对应的h(0),h(1),h(2)在下表中给出:

美国 加拿大 法国 英国 意大利 德国 墨西哥 阿根廷 挪威h(0) 0.4928 0.5392 .4948 0.5198 0.5537 0.5320 0.5745 0.5805 0.5801 h(1) 0.4813 0.5148 0.4820 0.5081 0.5367 0.5162 0.5586 0.5630 0.5608 h(2) 0.4589 0.4848 0.4650 0.4911 0.5175 0.4987 0.5393 0.5422 0.5324△α 0.5153 0.4343 0.3305 0.4102 0.4779 0.5481 0.3945 0.3831 0.5402土耳其 日本 韩国 新加坡 香港 台湾 中国 印度 马来h(0) 0.5642 0.5287 0.5500 0.5641 0.5527 0.5606 0.5740 0.5621 0.6216 h(1) 0.5541 0.5080 0.5360 0.5560 0.5362 0.5488 0.5333 0.5362 0.5917 h(2) 0.5412 0.4877 0.5251 0.5413 0.5139 0.5344 0.5009 0.5094 0.5441△α 0.3435 0.5287 0.3433 0.4186 0.4591 0.3035 0.5723 0.5128 0.6631

由上表可以清楚的看到,对应于成熟的股票市场,即美国 、加拿大 、法国 、德国、意大利、日本,都有来自其他新兴市场的都

重分形奇异普给出许多重要信息来描述其内部结构,在(7)式中的α刻画了奇异性的强度而f(α)即被看成该结构中具有奇异性 α的子集的分形维数.通常一个结构重分形特征的强弱可以从其谱的出来.△α也在上表中给出,显然它没有对应于H那样的一致性结果.

对于一个重分形序列,其重分形性质源自两个方面:一是该序列的非高斯分布,即具有“尖峰、胖尾”特征的分布;二是该序列的长程相关性.要分辨这两种来源,一个简单的方法是将该序列的次序充分的随机打乱,破坏其相关性[5].在图2中我们给出了这种变化前后的对比(以 SP500、DAX、HSI、NIKKEI为例).

可以看到:第一列对应 f(α)vs.α说明更强的重分形性对应更“曲”的曲线;第二列对应τ(q)vs.q,当序列被随机打乱后,其谱的宽度明显变窄了.同时可以看到原序列最大的 f(α)位于α=0.5附近,表明具有较弱的自相关性;而随机打乱的序列,其最大的f(α)都位于α=0.5处.我们考察次序打乱前后的谱宽比没有发现像Hurst指数 H那样的一致性结果.

图2 左列为不同的股票指数对应的奇异谱 f(α),右列为τ(q)关于q的关系.

其中实线对应原始序列(original series),虚线对应随即打乱后的序列(shuffled series).

3 结 语

通过以上考察,我们可以清楚看到股市多重分形特征的存在,其序列分布较之高斯分布具有典型的＂尖峰、胖尾＂特征,也发现了发达国家成熟的股票市场与发展中国家不太成熟的股票市场之间所存在明显差异,揭示了一些对预测股市变化有益的一些规律,这对于我们深入了解与把握股票市场的变化趋势都是具有积极意义的.

同时也可以看出,MF-DFA作为一种新的方法,在研究分形结构时具有较好的准确度和稳定性.虽然当前关于金融市场多重分形理论的研究仍处于初步阶段,还有一些问题有待解决[6],但是基于MF-DFA的股市多重分形结构研究却是有着相当重要的指导意义和应用价值的.

[1]Mandelbrot B B,Fisher A,Calvert L.A Multifractal Model of Asset Returns[J].Yale University,Working Paper,1997.

[2]Jan W.Kantelhardt,Stephan A.Zschiegner,Eva Koscielny-Bundeet al.Multifractal Detrended Fluctuation Analysis of Nonstationary Time Series[J].Physica A,2006,316:87-114.

[3]C.K.Peng,S.V.Buldyrev,S.Havlin et al.M osic Organization of DNA Nucleotides,Phys.Rev.E,1994,49:1685-1689

[4]Eva Koscielny-Bunde,Jan W.Kantelhardt,Braun P,et al.Long-termPersistence and Multifractal of River Runoff Records:Detrended fluctuation studies[J].Journal of Hydrology,2006,322:120-137

[5]田 军,胡 伟.金融市场的分形特征分析[J].财经科学,2000,(5):37-39.

[6]张成虎,吴发灿,赵 龙.分形理论在经济学中的应用[J].统计与决策,2009,(1):158-159.