对数学结果的讨论不能脱离物理本质

赵 坚

(昆明市五华区教育科学研究中心,五华区教师进修学校,云南昆明 650031)

本刊2008年第8期刊登了《六把钥匙解开一维弹性碰撞》一文(下称“六文”),文中对如下一道联考试题的答案m2=3m1提出疑议,认为本题的正确答案不是 n=3,而是n→∞.

题目.在离地面某一高度处有一质量为 m1的小球1,在其正下方地面处有另一小球2,现令小球1从静止开始下落,同时令小球2以某一初速度竖直上抛,使上、下两球在空中相碰,相碰处离地面的高度为小球1下落前高度的假设相碰时间极短,且不损失机械能.假如小球 2的质量 m2可以取 m2=m1,2m1,3m1,……,nm1,要想使碰后球1升高的高度最大,试论证上抛的小球质量应为多少?

为便于问题的讨论,现将“六文”的主要解答过程简述如下:

设小球1离地面的高度为h,小球2以2v0的初速度竖直上抛,从抛出到相遇的时间为 t0,则有即故相遇时小球1的速度方向向下.相遇时小球2的速度方向向上.

两小球碰撞,由动量和机械能守恒有

解(1)、(2)式得

[方程组(1)、(2)式另外一组解 v1′=v1,v2′=v2,舍去]

取向上方向为正,将 v2=v0,v1=-v0、m2=nm1代入(3)、(4)式,解得碰后两球的速度为

由(5)式知,当 n→∞时,小球1碰后速度有最大值 v1′=3v0,方向向上.小球1碰后向上的速度最大,上升最高,故本题的正确答案不是 n=3,而是 n→∞.

对“六文”以上的解答过程,笔者无可非议.但对于“六文”从(5)式的讨论就直接得出结论的做法,笔者认为是值得商榷的.

首先,“六文”讨论的是一种数学极限情形,用极限情形来讨论物理实际,有时是欠妥的.对本问题而言,当 n→∞,亦即上升小球质量 m2为无穷大时,由小球m1和 m2构成的系统所受合外力已不可忽略,系统动量不再守恒,这样“六文”后面的运算也就自然没有意义.

其次,本文讨论的试题是教育部考试中心2005年命制的物理高考科研测试(二)中的一道试题,考试中心给出的答案n=3,笔者认为是正确的.而“六文”的错误在于对数学结果(5)、(6)式的讨论脱离了试题的物理本质.对此,我们不妨这样来看:

按照“六文”的观点,当 n→∞时,碰后小球 1的速度v1′=3v0,另外由(6)式得小球2的速度 v2′=v0.假若是这样,则碰后对小球1、2构成的系统(注:暂时不考虑 m2与m1的质量关系,不然小球1、2构成的系统碰撞前后的动能必为无穷大,这是违背事实的!),其总动能为

可是,小球1、2构成的系统,其碰前的总动能为

比较(7)、(8)两式不难发现,碰后系统的动能增加了,这可能吗?既然题目中已明确指明碰撞中不损失机械能,那么碰撞前后系统的动能必然是相等的.

笔者认为,“六文”之所以出现错误,其原因在于将物理问题纯数学化了,这也是部分教师在教学中容易出问题的地方.

实质上,对于本题而言,若要碰后小球1上升得最高,也就意味着要求小球2把刚碰前时的全部动能在碰撞过程中都给了小球 1,即碰后 v2′=0.由(6)式,可得 n=3,将 n=3代入(5)式,解得 v1′=2v0.这样,碰后系统的总动能为

注意到 n=3时,m2=3m1代入(8)式,得

比较(9)、(10)两式,碰撞前后系统的动能是相等的,这也才是符合物理本质的.