伽利略对抛体运动的研究

王春英

(西北民族大学电气工程学院,甘肃兰州 730030)

伽利略(1564～1642)是意大利的物理学家、天文学家.他在1632年发表了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书,1638年又发表了《关于两门新科学的对话》一书.书中,涉及到了现代力学中的许多概念、定理和公式.通过解读伽利略的相关著作,我们不仅能够深刻地了解伽利略的工作和思想,而且能够更深刻地理解那些公式、定理的含义,下面笔者就以抛体运动为例探析伽利略的工作和思想.

1 惯性思想的提出

在17世纪以前,人们就注意到了以下现象:从一座塔上下落的球会垂直落在塔底;向上抛出的球仍旧落在原处.这是为什么呢?究其原因导致了惯性概念的产生.在伽利略之前,人们对运动的看法是建立在亚里士多德观念的基础上.亚氏把运动与静止看作是两种对立的状态,从运动到静止或从静止到运动就必须实施力的作用.因此,在地静说的基础上,他们给出的解释是:小球在横向方向没有受到外力的作用,在垂直方向由于其“重”的本性作自然运动,因此小球垂直落下.然而,伽利略认为,亚氏的许多命题都是错的.首先,地球不是静止的,而是运动的,那么在运动的地球上如何解释上面的现象呢?伽利略认为:“同地球保持一致是这个球作为地球上的物体无法摆脱且不可分离地参与了的基本的、永恒的运动,物体凭借本性具有这种运动并且将永远拥有这种运动.”[1]当球从塔上下落到地球上时,由于没有原因促使球自西向东运动停止,所以它与塔保持一致.伽利略还通过图1的理想实验进一步表达了他的思想.把一个小球放在具有一定高度的光滑斜面AB上,这个小球必然自发地沿着斜面加速地滚下来,到达B点小球获得一定的速度,这个速度可使小球沿着光滑斜面BC减速地上升到同样高度.如若把 BC面变成光滑的、无限长的水平面,由于小球在B点获得的速度既不能增加也不能减少,小球就会以这个速度一直运动下去.这种在亚氏学派看来,不可能存在的运动形式被伽利略揭示出来:一个不受力的物体也会运动.事实证明,力不是维持物体运动状态的原因,运动是物体的固有属性.

图1

伽利略没有使用“惯性”这个词,但他已表达出惯性的思想.遗憾的是,伽利略遵循旧传统认为物体这种基本的、永恒的运动是匀速圆周运动,但对无限大的地球局部来说,圆周曲线运动等同于直线运动.

2 落体运动的研究

亚氏把从塔上静止下落的小球,看作是自然运动,并把它归因于形式因.在他看来这类运动的本性和形式只有在它们的天然位置才能实现,并利用“元素说”,把物体所含重元素的量作为物体下落速度快慢的判据.按照这一判据,两个物体在空气中从同一高度下落,重物体比轻物体先落地.亚氏还注意到了介质对下落物体的影响.[2]他根据经验断定,介质对运动起阻碍作用,介质密度越大阻碍就越大.如果把物体所含重元素的量设为Q,把介质密度设为ρ,我们试着把亚氏的思想用符号形式反映出来,即为

亚氏虽然没有用符号形式表达他的思想,但这是历史上第1个有关落体运动规律的描述.

1638年伽利略发表了《关于两门新科学的对话》一书,书中伽利略公布了他的两项重要发现,其中之一是他的自由落体定律.在这个问题上,伽利略推翻了他那个时代几乎所有人都认为落体速度与其重量成正比的错误观点.笔者们可以通过他的相关著作,了解他的工作和思想.伽利略认为,自亚氏以来人们借助于“四因说”来解释物体的运动,是导致没有意义结果的重要原因.人们应该改变观念,转换视角,从研究“为什么”转变为“怎么样”.为实现这一转变,伽利略转向了对运动现象的数学描述.他把运动物体看作质点,排除了形状对运动的影响.他不考虑空气的作用,在纯化了的条件下凸显出落体运动的主要特征.他定义了匀速运动,并重点观察了落体运动的下落方式,考察了运动变化的性质.他发现落体在重力的持久作用下,速度并不均匀,而是有规则的变化,这种规则性表现出一种规律,那就是在相等的时间间隔内速度的增量保持不变.我们用符号形式反映出来,就是 Δv=aΔt.伽利略把这种运动又定义为匀加速运动.可见,在伽利略看来,匀速直线运动与匀加速直线运动是两种不同的运动状态,匀速直线运动可以不受力的作用,但自由落体是在重力的持续作用下,才会匀加速下落的.因此,伽利略揭示出:力是改变物体运动状态的原因.

在确定了时间和速度的正比关系后,伽利略用几何方法证明了自由落体运动的路程和时间的关系,他的证明过程大致如下:

如图2所示,设物体从静止开始下落,用竖直线 AB表示时间.把AB等分成若干份,在各等分点上,作垂直于 AB的垂线,每一条垂线表示各时刻的速度值,其数值 v=at按的假设增加.到了 B点,物体所用时间为 t,速度值为at.连接这些垂直线段的顶点便是 AC.则三角形ABC的面积即为物体在AB时间内做匀加速运动所走过的路程.此路程为

图2

以上是伽利略的自由落体定律.按照伽利略的观点,一切物体下落的速度与其重量无关,在真空中都以同样的加速度下落.

3 运动的合成——抛体运动

有了惯性运动思想和自由落体运动的性质,伽利略扩大了他的研究范围,开始讨论抛体运动.伽利略认为抛体的运动具有匀速运动和自然加速运动的复合运动的性质.他在其著作《关于两门新科学的对话》中谈到:“设想任意一个质点沿水平面无摩擦地投掷;如果这个平面是无限的,这个质点将沿平面作均匀的和永恒的运动.如果这个平面是有限的或被提高了的,则运动质点(我们想象它有重量)就将穿过平面的边界,在它原先所作的匀速的、永恒的运动外,由于自身的重量而获得一个向下运动的倾向,以至于所产生的笔者称之为抛射的运动是一种水平匀速运动和另一垂直自然加速运动的复合.”[3]并证明了“由一个水平匀速运动与一个垂直自然加速运动复合而成的抛射运动描绘的路径是一条半抛物线.”证明过程大致如下:

如图3所示,令ab是一条台高的光滑水平线,让一物体从a到b做匀速运动,到b点时,又突然在其自身重量的作用下,获得一个沿垂直向下的自然加速运动.延长ab到k,令 bk代表时间轴,bn代表路程轴.因为物体的惯性运动,它在水平方向保持其匀速运动,将bk分成相等的时间间隔bc、cd、de和cp等.由于物体在竖直方向上作自由落体运动,其路程依 s=变化.若当物体到达c点时,下落的距离是 ci,那么到达d时,下落的距离是 df,df=4ci,到达e点时,下落的距离是9ci,到达 p点时,下落的距离是16ci,以此类推,连接 bifhm,就是一条半抛物线.

图3

伽利略就这样用新观念解决了多少世纪遗留下来的抛物体的曲线问题.

把抛体运动看作是水平的匀速运动和竖直向下的自然加速运动的合成后,伽利略认为,抛体运动的速度也应该具有复合性质,它应该是两个分速度合成的总效应.于是他又用几何方法证明了以下命题:

当一个物体的运动是由水平的匀速运动和垂直方向的自然加速运动合成时,则合速度的平方等于两个分速度的平方之和.这是伽利略的又一重大发现.

伽利略把运动同物体的本质属性分离开来,通过对抛体速度的讨论,不仅改变了自亚氏以来人们思想中固有的错误观念,而且揭示出自然界运动所遵循的简单性法则——运动的独立性和叠加性.由于运动的独立性,所以运动与运动不会相互影响.这样一来,一个物体可以同时具有几个运动,合运动的结果遵从纯粹的几何学法则.相反,每一种运动也可以遵从相同的规则分解为若干个分运动.

伽利略的工作并没有到此为止,他又通过物体的平抛运动,深入到大炮发出的抛射体,那是一条抛物线.他把沿各种不同倾角θ发出的抛射体的轨迹的射程(幅度)和高度一一计算出来,并制成精细的表格.计算结果证明,对于一定的初速度,当 θ=45°时,射程最大.并揭示出,若初速度不变,仰角比45°增大或减少一个相等角度的抛体,其射程相等.

“近代物理学是随着伽利略的著作而诞生的.”[4]伽利略通过上面的工作,不仅建立了一门新的涉及一个古老课题的科学,正确解决了抛体问题,而且还为人们提供了新的理论、新的思想.他所运用的方法和手段正向他所预言的那样,不仅对那个时代的科学家和科学思想产生了巨大的影响,也为之后的牛顿力学的建立奠定了基础.

1 伽利略.关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话.周煦良等译.北京:北京大学出版社,2006.

2 亚里士多德.物理学.徐开来译.北京:中国人民大学出版社,2003.

3 伽利略.关于两门新科学的对话.武际可译.北京:北京大学出版社,2006.

4 科瓦雷.伽利略与17世纪的科学革命.世界哲学.1994(04).