利用x-t图线巧解物理难题数例

谢恩东

(安庆市第一中学,安徽安庆 246000)

图像法是高中物理处理问题一种基本方法,利用图像解题直观,物理过程清晰明确.利用物体的运动图像求解运动规律是处理运动学问题的常用方法.提到图像法,我们很容易想到物体运动的v-t图像,而 x-t图线却在教学中很少用到.但是合理使用 x-t图线,也能帮助我们解决一些较为复杂的问题,尤其在多物体、多过程的匀速直线运动中.以下例题重点分析如何利用 x-t图线巧妙解决物理中难题.

例1.某人以 v0=30 m/s的速度每隔1 s向上抛出一球,设各球在空中相遇但不相碰,则从抛出第1个球开始计时,在哪些时刻第1个球与其他球在空中相遇?

解析:小球抛出后在竖直方向做匀减速运动,其位移与时间的关系为 x=v0t-以后抛出的小球运动规律与第1个小球的运动规律相同,在同一坐标轴作每个小球的图线,如图1所示,图线的交点 A、B、C、D、E表示两小球相遇的时刻.由图线的对称性,不难求出第一个球与各球相遇的时刻分别为3.5 s、4 s、4.5 s、5 s和 5.5 s.

例2.(2001年上海高考题)如图2(a)所示是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图,测速仪发出并接收超声波脉冲信号,根据发出和接收到的信号间的时间差,测出被测车辆的速度.图2(b)中 P1、P2是测速仪发出的超声波信号,n1、n2分别是 P1、P2由汽车反射回来的信号.设测速仪匀速扫描,P1、P2之间的时间间隔 Δt=1.0 s,超声波在空气中传播的速度是v=340 m/s,若汽车是匀速行驶的,求:(1)汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离;(2)汽车的速度.

图1

图2

解析:从图2(b)中可以看出 P1P2对应的长度为30格,即每格对应因此 P1n1、n1n2和P2n2对应的时间间隔分别为0.4 s、0.9 s和0.3 s.根据题意作超声波和汽车的位移-时间图线,如图3所示,P1B和P2C分别为超声波P1、P2的图线,AC为汽车的图线,其中P1A的长度表示初始时刻测速仪与汽车的距离.B、C两点表示两列超声波遇到汽车,两列超声波反射后的图线为Bn1和 Cn2.设超声波和汽车的速率分别为 v1和 v2,由x-t图线物理意义可知:

图3

由几何关系可得

结合以上关系,代入数据可得:

汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离 BF=17 m,汽车的速度 v2=17.9 m/s2.

例3.(2004年江苏高考题)如图4所示,声源 S和观察者 A都沿x轴正方向运动,相对于地面的速率分别为 vS和vA.空气中声音传播的速率为 vP,设vS＜vP,vA＜vP,空气相对于地面没有流动.

图4

(1)若声源相继发出两个声信号.时间间隔为Δt,请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程.确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔Δt′.

图5

(2)请利用(1)的结果,推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式.

解析:(1)声源、观察者和声波都是匀速运动,考虑采用x-t图线.如图5所示,先作声源S的x-t图线OC,图线与横轴的夹角为θS;声源在相隔均为Δt的O、A、B和C时刻发出声波,声波的 x-t图线分别为图中OE、AF、BG和CH,4条图线与横轴的夹角均为θP;观察者的 x-t图线用DH表示,OD长度表示初始时刻声源和观察者的距离,直线DH与横轴的夹角为θA.在 x-t图像中,两图线的交点表示两物体相遇,从图中可以看出观察者在E、F、G和H时刻接收到声波,4者中相邻的时间间隔(可用线度 EP的长度表示)即题中所求的Δt′.

由图线x-t的物理意义可知

在图中作辅助线EQ∥OA,由几何关系可知

解(1)～(5)式可得

(2)设声源发出声波的振动周期为 T,由以上结论,观察者接收到的声波振动的周期为由此可得,观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为(收稿日期:2009-12-14)