小波分析在故障诊断中的应用

汤石雄

（海军榆林保障基地，榆林 572021）

1 引 言

在对设备或系统的故障诊断过程中，突变信号往往对应着某些特定的故障状态。一般来说，系统正常运行时的特征信号都比较平稳，而一旦出现故障，往往会产生具有奇异性的突变信号。例如系统在运行过程中产生的撞击、震荡、摩擦、转速突变、结构变形和断裂等都可以反映在信号的突变点中，信号突变点的奇异性检测可以有效地揭示故障信息。因此，检测、分析并识别系统中的各种信号，并判断其状态，是对设备进行故障诊断的有效方法。小波分析从数学上讲可以认为是一个分析波形的时频放大镜，它能将波形上的某一段取出来进行专门的时域和频域分析，因此，可以找出信号的具体特征，从而进行信号的识别、变换等工作。

小波变换的模极大值对应于信号的奇异点，可通过检测模极大值来寻找信号的奇异点，进而进行故障诊断[1-4]。

2 信号的小波变换理论

定义 1[4,5]：令 Ψ(t)∈L2(R)，且ˆ( 0)∈0，则由生成的函数族{Ψa,b(t)}称连续时间小波，或称分析小波。其中{Ψ(t)}称为母小波或基本小波，a称为尺度参数或伸缩参数，b称为平移参数。称为小波的允许条件。

定义2：函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换，定义为：

小波变换具有“恒Q特性”和“变焦距特性”，可以对时域和频域进行局部定位，并能检测信号及其微商的突变，被称誉为“数学显微镜”，在信号处理、图像处理、模式识别、故障诊断等领域应用广泛。

2.1 小波降噪应用分析

在对设备进行故障诊断时，如果不对采集的信号进行有效地降噪，实现信噪分离，那么后续的数据处理和特征提取将产生很大的误差，从而影响故障诊断的精度。传统的信号降噪一般采用傅里叶变换的方法，通过傅里叶变换（FFT）实现信号降噪是通过对原信号在一定范围内滤波来抑制噪声的频谱，具体过程是：首先，对原信号进行傅里叶变换求出其频谱；然后，根据频谱对不需要的频谱成分进行滤波，抑制噪声信号的频谱；最后，对滤波后的频谱进行傅里叶逆变换，得到降噪后的信号。

傅里叶变换的一个严重缺陷是不能表达时域信息，对系数的处理方法相对单一。因此，傅里叶变换在实际应用中存在很大局限性，主要表现在频谱混叠、频谱泄露和栅栏效应，一般仅适合于平稳、缓变信号的频谱分析。后来的短时傅里叶变换虽然可以表达时域信息，但在相空间中的分辨率是固定的，不能反映信号的瞬时特点。小波变换从原理上克服了傅里叶变换的缺陷。首先，小波分析是按照频带而不是频点的方式处理频域信息，而利用对信号的时域加窗，取消了其整周期采样的限制，而其频域紧支性保证了带通滤波性质，因此，当信号频率微小波动以及包含非正次谐波时，不会出现傅里叶分析中的频谱泄露和频谱波动现象；其次，小波变换能根据信号频率的高低，通过尺度伸缩得到可调的时频窗，这使其具备很强的奇异、突变信号识别能力，能有效地检测和定位信号中混有的高频干扰成分并加以分离。小波分析可通过在分解之后的各个层次上选择阈值对噪声成分进行抑制，充分发挥了时域分析和频域分析各自的优点，提供了更为灵活的信号分析和处理方法。

利用小波变换降噪的原理是，小波变换对确定信号有一种“集中”的能力，可以使一个信号的能量在小波变换域集中于少数系数上，而高斯白噪声的小波变换仍是同一幅度的高斯白噪声，一般而言，信号的小波系数值大于那些能量分散于大量小波系数上且幅值较小的噪声的小波系数值。因此，可以通过小波变换将噪声从信号中分离出来。

小波分析用于降噪的基本过程是：首先，通过选定一种小波，对信号进行N层小波分解；然后，对分解得到的各层系数进行阈值处理；最后，降噪处理后的小波系数通过小波重建恢复原信号。在正交小波中，正交基的选取比传统方法更接近实际信号本身，所以通过小波变换可以更容易地分离出噪声和其他不需要的信息[5,6]。

2.2 间断点检测应用分析

故障特征提取是故障诊断最重要也是最困难的问题。一般来说，系统的故障最初较微弱，其特征淹没在背景信号中，传统的信号处理方法难以分离，使其不能被及时发现和排除，最终演变为严重故障，影响系统运行。工程实践表明：对于某一特定的系统，在正常状态下，有特定的特征波形。对于以信号展开或变换理论为基础的特征提取方法，一个重要问题是基函数的选取要与被提取的特征相匹配。小波理论提供了不同特性的、丰富的基函数，使得对某一个特定的问题可以选择合适的基函数以获得较好的故障分类信息。

小波变换实质上是在每一个变换尺度上进行一系列相关运算，当信号特征与小波特性相似时，就会出现较大的小波系数，因此，采用与故障特征匹配的小波基函数分析系统的动态信号，可以显示被淹没的故障信号，在信号发生突变时，其小波变换后的系数具有模极大值，因此，可以通过检测小波系数的模极大值来检测突变信号的奇异点，进而得到系统的故障信息。例如，旋转机械的振动表现为以转速为周期的周期性振动。当旋转机械存在转子质量不平衡、轴系不对中等故障时，在每个旋转周期都将产生较强的振动现象，并在振动信号中出现不同类型的奇异点，这些奇异点通常包含有益的故障信息。

在数学上采用 Lipschitz指数来描述某一点的奇异性。

定义3[5,7]：设n是一非负整数，n＜α≤n+1，f( t )在 t0处具有Lipschitz 指数α，当且仅当存在常数A和h0＞0及 n 阶多项式pn(t)，使得对于任何 h≤h0均有

成立。Lipschitz 指数越大，则函数越光滑。如果f ( t )在 t0的Lipschitz 指数小于1，则称t0是f ( t )的奇异点。信号的奇异点可以从小波变换的模极大值检测出来。信号的突变越大，其小波变换的模极大值就越大，而信号的突变点就是可能的故障点。因此，可以通过对小波变换模极大值的检测来判断信号中是否存在奇异点，进而达到故障检测的目的。

在实际信号处理中，低频信号一般持续时间长，因此总是希望时窗尽量宽些，而频窗尽量精细些；分析高频信号时，则希望时窗窄些，频域可以适当降低精度。小波变换具有自适应的时频窗，在低频区时窗宽而频窗窄，在高频区时窗窄而频窗宽，这与需要处理的信号的特性完全符合。一般情况下，短支集小波在处理间断问题时比长支集小波更有效。根据实践经验发现，在选择小波过程中，如果处理的信号本身是间断的，可以使用haar小波；而如果处理的信号的第i阶导数是间断的，则应使用消失矩为i的小波。

3 实例研究

对于一个频率突变的信号，应用小波变换可以将信号突变的时间点和位置检测出来。例如，对一个频率突变的信号利用db5小波对原信号进行5层分解，信号的波形及小波分解系数如图1所示。其中s为原信号，a1-a5为近似系数，d1-d5为细节系数[6]。

从小波分解图上可以看出，第一层和第二层细节系数清楚地反映出了信号在500附近频率的不连续性。这两组系数中间都只有一个很窄的区域包含绝对值很大的系数，这表明原信号在该点附近有间断。可见，小波分析不仅能清晰地反映出信号的间断，而且能准确定位间断点的位置。从图中可以看出，d1已经包含了间断点的信息，而高频信号从d2才开始出现，说明间断点的频率比信号高频部分的频率还要高。

对同一信号进行傅里叶变换，结果如图2所示。从傅里叶变换结果可以看出，在伪频率分别为5和50处出现两个强度相当的频率成分，这和小波分析的结果类似，但傅里叶变换不能得到间断点的位置。因此，小波变换在处理多频率、含间断点的信号时，比傅里叶变换具有更大的优势。因此，在故障诊断领域应用广泛。傅里叶变换由于只反映频域的特性，因此，只能是孤立的几根谱线，而小波变换基于时频的联合分析，可以对信号的时频特性进行精确分析和定位。

图1 频率突变信号的小波变换

图2 频率突变信号的傅里叶变换

4 结束语

本文通过理论分析和实例验证，给出了应用小波分析进行故障诊断的方法，通过与傅里叶变换的分析、对比可以看到，小波分析在信号降噪和奇异点的检测方面有FFT所无可比拟的优势。当然，小波分析的应用领域远不止这些，同时，小波变换只对低通滤波器的输出进行递归分解，即只对信号的低频空间进行进一步的分解，因此，存在高频段频率分辨率差，低频段时间分辨率差的问题。针对这个问题，引入了小波包分析理论。总之，小波变换为信号处理技术提供了强大的工具，并处在不断发展完善过程中，应用前景广阔。

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[1]牛星岩, 沈颂华. 基于小波变换的整流装置故障特征提取[J]. 电子测量技术, 2007(10): 122-126.

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[3]周小勇, 叶银忠. 小波分析在故障诊断中的应用[J].控制工程, 2006(1): 70-73.

[4]崔宝珍, 王泽兵, 潘宏侠. 小波分析-模糊聚类法用于滚动轴承故障诊断[J]. 振动、测试与诊断, 2008(2):151-154.

[5]吴正国, 尹为民, 侯新国等. 高等数字信号处理[M].北京: 机械工业出版社, 2009.

[6]高成主编. Matlab小波分析与应用（第二版）[M].北京: 国防工业出版社, 2007.

[7]胡志坤, 桂卫华, 何多昌等. 电力电子电路故障的小波分形检测方法[J]. 控制工程, 2008, 15（3）:337-341.