Schrodinger方程的数值解

张子珍，吕仕儒

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009）

Schrodinger方程的数值解

张子珍，吕仕儒

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009）

利用实稳定方法,借助Fortran程序求解薛定谔方程的束缚态问题.以谐振子势为例,并与解析解进行比较,得到了满意的结果.为求解薛定谔方程提供了一种较简单的方法.

薛定谔方程 束缚态 解析解 数值解

微观粒子的量子态用波函数来描述,波函数随时间变化的方程就是Schrodinger方程,Schrodinger方程是量子力学中最基本的方程,其地位与Newton方程在经典力学中的地位相当.在谐振子势、方势阱等势场作用下,从数学上找出Schrodinger方程的解析解比较困难,对较复杂的势如woods-Saxon作用下,几乎无法求出Schrodinger的解析解.为了解决此问题,本文利用Fortran语言,求Schrodinger方程的数值解.利用实稳定方法来找出Schrodinger方程的束缚态,并将结果与解析解进行比较.

1 Schrodinger方程的引入

与具有一定能量E及动量p→的粒子相联系的波是平面单色波,其表达式是

将上式对时间及坐标求导,并利用自由粒子的能量动量关系E=p2/2m,可得

假设势场V中不显含t,方程(4)可以用分离变量法求其特解,令ψ(r→,t)=ψ(r→)f（t）,代入(4)式,分离变量,得

其中E是分离变量时引入的常数.方程(4)的解是

(5)式就是定态Schrodinger方程.

2 定态Schrodinger方程的解

2.1 在不同势场作用下的解析解

2.1.1 谐振子势

在一维谐振子势下,Schrodinger方程变为

2.1.2 无限深方势阱

图1 势能曲线及解析求解得到的能级

图2 解析求解得到的零级波函数

在势阱外,波函数为0,且

在求解过程中,得出其能量的本征值及本征函数分别为

2.2 Schrodinger方程的数值解

2.2.1 坐标空间的实稳定方法

实稳定方法是通过基展开的方法进行求解.在分立能区,各本征态(束缚态)的能量不会随基空间的维数而改变;而在连续能区,本征态的能量多数会随着基空间维数的增加而逐渐降低,这些态对应于散射态;还有一些本征态能量随基空间维数的增加会出现一个平台,这些态对应于共振态[2].束缚态的问题也可以在坐标空间(离散的空间格点上)求解.通过改变坐标空间的大小,可以得到本征能量随格点数的变化关系.与基展开的方法类似,能量不随坐标空间格点数而改变的态就对应于束缚态[3].

2.2.2 数值求解过程

1)给定初始能量,两端初始波函数及其一阶导数值.

2)通过Runge-Kutta[4]方法向match点推近.

3)利用match点波函数是否光滑对接及节点数判断初始能量是否合适.

4)若节点数符合,波函数光滑对接,归一化波函数之后输出计算结果.

5)若节点数不符,则改变能量初值,重新进行计算,直到求得本征能量[5].

2.2.3 数值计算结果

1)谐振子势.V（x）＝mω2x2/2,图3～6分别给数值计算得到的能级及其波函数.计算中均采用自然单位制m=ω=ħ=1.

图3 谐振子势的能级随格点数的变化规律

从图3中可以看出,空间格点数从171增加到421时,各级谐振子的能量没有发生任何变化,所以这些态对应于束缚态,它们的能级分别是0.5,1.5, 2.5,3.5,4.5ħω等.与解析求解得到的结果相当吻合.

从图4、图5、图6可以看出数值求解得到的波函数与解析求解得到的各级波函数也是完全一致的.

2)有限深方势阱.

以下面有限深方势阱为例来进行数值求解:

图4 谐振子势的第零级波函数

图5 谐振子势的第一级波函数

图6 谐振子势的第二级波函数

当空间格点数从171变到571时,对应于一些态,它们的能量不随格点数变化而变化,这些态就是束缚态,它们的能级如下(单位是MeV):

对数值求解得到的这些能级进行分析,发现随着能级的升高,能级的间隔逐渐加大.而且各能级仍保持与量子数n2成正比的关系.

数值求解得到的与不同能级对应的波函数如下:

图7 方势阱的第三级波函数

图8 方势阱的第七级波函数

从图7～9可以看出,数值求解得到的各级波函数的节点数比它的级数刚好少一,这与无限深方势阱的情况完全对应。

图9 方势阱的第八级波函数

2.3 两种解的比较

对比在谐振子势作用下的能级,图1是解析求解得到的能级,而图3是数值求解得到的能级,两图均采用自然单位制,从这两图中可以发现,两种方法得到的结果完全相同.再看在谐振子势作用下的波函数,图2是解析求解得到的第零级波函数,而图4是数值解得到的第零级波函数,这两条图线也完全一致.实际上其它级波函数也是完全一致的,本文中没必要一一列出.图5和图6是数值求解得到的谐振子势作用下的第一级和第二级波函数.在有限深方势阱作用下数值求解得到能级已给出,图7～9是对应的波函数.从以上的分析可见,数值解与解析解得到的结论完全一致.而数值解最大的优点在于只要编好Schrodinger方程解的程序,在不同势场下求解时只要把势场换一下问题就可迎刃而解,具有方便、快捷而且准确的特点.

3 展望

本文利用实稳定方法求出一维Schrodinger方程在不同势作用下的束缚态问题,对三维Schrodinger方程的求解程序,以及散射态及共振态问题是下一步工作的方向.当然实稳定方法只是求解Schrodinger方程的一种方法,还可以考虑用其它不同的方法对Schrodinger方程进行数值求解.

[1]曾谨言.量子力学（卷Ⅰ）[M].北京:科学出版社,1995：101-105.

[2]Hazi A U,Taylor H S.Stabilization Method of Calculating Resonance Energies：Model Problem[J].Phys RevA，1970，1：1109.

[3]张力，周善贵，孟杰.单粒子共振态的实稳定方法研究[J].物理学报，2007，56（7）：38－39.

[4]黄云清，舒适，陈艳萍，等.数值计算方法[M].北京：科学出版社，2009：274－286.

[5]刘卫国，蔡旭晖.FORTRAN 90程序设计教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2003.

N umerical S olution of Schrodinger E quation

ZHANG Zi-zhen，LU Shi－ru
(School of Mathematics and Computer Science,Shan x iDa t ong University,Da t ong Shan x i，037009)

The numerical solutions of schrodinger equation are studied by real stabilization.Taking Harmonic Oscillator potential as an example,the results are also compared with analytical solutions,and satatisfy agreements are found.We provide a new way to solve schrodinger equation.

schrodinger equation;bound state;analytical solution;numerical solution

O 41

A

〔编辑 李海〕

1674－0874（2010）02－0022－03

2009-03-26

张子珍(1965-),女,山西阳高人,教授,研究方向:原子核结构理论.