宾汉钻井液圆管轴向层流压降的数值计算

高远文,鲁 港,杨 龙,佟长海,孙忠国

在钻井水力参数计算和优化设计等问题中,钻具内及环空中的压降计算是基本的计算。除了与钻具、环空的几何参数有关之外,钻井液的流变性质是影响压降的主要因素。不同类型的钻井液其流变性质是不同的,目前常用的描述钻井液流变性质的模型主要有 5种:牛顿模型、宾汉模型、幂律模型、赫 -巴模型和卡森模型。关于不同流变模型下的压降计算目前已有很多研究成果[1]。本文对宾汉模型下的钻具内层流压降计算进行了详细的研究。在宾汉模型下,层流压降满足一个 4次代数方程;在一定的条件下可以得到压降的一个近似公式[2]。本文的研究表明,这个近似公式的计算误差随着钻具长度而增大。尽管可以使用代数方程求解理论求出压降的精确计算公式[3],但是在计算机编程计算时很麻烦,并且该方法很特殊,仅适用于宾汉模型。本文提出了求解压降方程的一个数值迭代方法,对其收敛性给出了严格的数学证明;并与以往使用的近似计算公式进行了对比分析。

1 非牛顿流体圆管轴向层流压降

假设所研究的非牛顿流体的本构方程可一般地表示为:

式中 :γ——剪切速率 ,s-1;τ——剪切应力 ,MPa;f()——一般的连续函数。

从动量守恒定律,得:

式中:Δp——压降 ,MPa;L——圆管长度 ,m;r——离开圆管轴心的距离,m。

在一定压力梯度下,剪切应力τ与 r成正比;在管壁处切应力有最大值:

式中:R——圆管半径,m;τw——最大剪切应力值,MPa。

文献[1]给出了下面的计算公式:

式中:u(r)——流体的速度分布函数,ms-1;Q——流量,m3s-1;V——平均流速,ms-1。

从式 (2)得到压降的计算公式:

式(6)即是非牛顿流体圆管轴向层流压降的一般计算公式;参数τw需要从方程 (4)解出。

2 宾汉流体圆管轴向层流压降

宾汉流体的本构方程为[1]:

式中:τ0——屈服值 ,MPa;ηs——塑性粘度 ,mPa·s。

将上式代入式 (4),得:

当τ0=0即本构方程退化成牛顿模式时,得:

代入式 (6)得到牛顿模式的压降公式:

当 τ0>0时,记:

则有:

再记:

则得到ξ的方程如下:

方程(8)称为压降计算的特征方程,简称特征方程。

从特征方程中求出满足 0<ξ<1的正实数解ξ,再按下式计算压降:

3 特征方程的数值求解

特征方程是关于未知数ξ的 4次代数方程,可以使用 4次代数方程的求根公式求出其解析解[3],但是计算过程很麻烦。这里给出一个数值求解的方法。

在 0≤ξ≤1区间上,函数 F(ξ)是单调下降函数,参见图 1。并且容易验证:F(0)=1,F(1)=0。特征方程的解ξ可以看成是曲线 y=F(ξ)与直线 y=aξ的交点的横坐标值。

图1 函数 F(ξ)的图像

记:b=1/(3a+4),则 b<1/4。构造下面的迭代算法:

首先可以证明迭代序列{ξk}是有界的:

其次,对于任意给定的正整数 m>0,有:

因 4b<1,根据序列收敛的 Cauchy收敛准则[4],可知迭代序列{ξk}是收敛的。

假设迭代序列{ξk}收敛到ξ＊,易知:

令收敛允许误差为ε,则最大迭代步数为:

4 压降的近似计算公式

由于 0<ξ<1,可知ξ4很小。在特征方程中忽略ξ4项,得到:

求得:

代入式(9),得到压降的近似计算公式:

假设特征方程的精确解为ξ＊,对应计算出的压降为Δp;近似公式 (11)计算出的压降为Δp′,则有:

可见,虽然ξ＊3很小,但是当管长 L很大时,Lξ＊3不是小量。所以,近似压降公式在管长较长时会产生较大的计算误差。

相对误差为:从图 1可以看出,当直线系数 a增大时,解ξ＊随之减小。而 a与流量 Q成正比,所以,当流量减小时,相对误差δ也随之增大。

5 雷诺数

广义雷诺数的定义[1]:

式中:μN——视牛顿粘度,满足下式:

所以:

式 (12)是宾汉流体圆管轴向层流雷诺数的精确计算公式。如果在特征方程中忽略ξ4项,得到雷诺数的近似计算公式:

易知:

可见,使用近似公式计算的雷诺数要小于其真实值。

6 数值分析及算例

图2给出了特征方程的解ξ与方程中的参数 a之间的变化曲线,从图中可以看出,解ξ与参数 a之间的变化曲线类似于第一象限中的双曲线。

图2 特征方程的解ξ与参数 a的关系曲线

图3给出了参数 a很小时的数值解与近似解的变化曲线,可以发现:当参数 a很小时,近似解与精确解之间有显著的差异。

图3 特征方程的精确解和近似解与参数 a的关系曲线

算例:钻具长度 L=2525 m,内径 R=54.3 mm,流量 Q=28.2 L/s,宾汉模型参数:τ0=4.15 Pa,ηs=0.028 Pa·s。

使用本文方法得到的压降为 1.0956 MPa,使用近似公式 (11)得到的压降为 1.1011 MPa,相对误差为 5.1‰。迭代过程中解随迭代步变化的情况见图4。只需要 10步左右迭代就得到特征方程稳定数值解。

图4 特征方程的解随迭代步的变化曲线

7 结论

(1)宾汉钻井液在钻具中的层流压降满足一个非线性方程,需要使用数值方法进行求解。本文提出了一个迭代算法,并对其收敛性给出了严格的数学证明;得到了最大迭代步数的上限值。

(2)理论分析和实际算例表明,本文方法具有非常稳定的收敛性能和非常快的收敛速度。

(3)使用数值迭代方法计算压降比近似计算公式更精确。在计算机软件编程中宜用数值方法代替以往使用的近似计算公式。

[1] 张景富.钻井流体力学[M].北京:石油工业出版社,1994.

[2] 曾春元.宾汉流体水力参数优化程序设计方法[J].石油钻探技术,1994,22(1):48-50.

[3] 陈尚伟.宾汉塑性流体层流压强降的分析解[J].化学世界,1990,45(8):369-372.

[4] 欧阳光中,朱学炎,秦曾复.数学分析 (上册)[M].上海:上海科学技术出版社,1983.