例谈不等式问题中的代换方法

● (南菁高级中学 江苏江阴 214437)

例谈不等式问题中的代换方法

●陈培东(南菁高级中学 江苏江阴 214437)

不等式问题是考试中永恒的热点，值得重视与关注.不等式问题往往难度较大，需要一些常规方法以外的补充.本文通过实例分析介绍不等式问题中的若干代换方法.

1 整体代换

常为简化代数式的某关键或困难部分，譬如分母、被开方式等作整体代换.

分析题目中不等式为线性齐次式，可通过整体代换来简化分母，使得基本不等式有用武之地.

解设x=a+2b+c，y=a+b+2c,z=a+b+3c,则

c=z-y,b=x-2y+z,a+3c=2y-x,

从而

2 比例代换

例2设a,b,c∈R+，且abc=1，求证：

同理可得

因而

等价于

即

(x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)≤xyz.

由题意可知,x+z-y,x+y-z,y+z-x至多有一个小于0.

若只有一个小于0，则左边小于0，右边大于0，不等式显然成立.

若x+z-y,x+y-z,y+z-x都是正数，则

因此

(x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)≤xyz，

即原不等式成立.

3 三角代换

当算式某部分的结构与某三角公式的形式类似时，易想到尝试三角代换解题.

分析由cy+bz=a，az+cx=b，bx+ay=c，可得

此式具有余弦定理的结构，暗示可作三角换元.

解答过程请参见本期第13页.

4 增量代换

当题设中各量之间具有某种大小关系时，可以采用增量代换的方法处理.

例4求最大的实数k，使得对任何满足u2>4vw的正实数u,v,w，不等式

(u2-4vw)2>k(2v2-uw)(2w2-uv)

都成立，并证明你的结论.

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分析注意到不等式关于v,w对称，且为齐次式，可取v=w=1,u=2+t(t>0),则不等式(4t+t2)2>kt2恒成立，即k<(4+t)2恒成立，故k的最大值为16.

解可取v=w=1,u=2+t(t>0),则不等式即为(4t+t2)2>kt2恒成立，即k<(4+t)2恒成立，因此k≤16.

以下再证:(u2-4vw)2>16(2v2-uw)(2w2-uv)恒成立.

(u2-4vw)2>16(2v2-uw)(2w2-uv)

等价于

即

(1)

注意到

5 常数代换

对于齐次对称不等式，可以设一个齐次对称式为常数，从而使问题得到简化.

例5(卡尔松不等式)已知a,b,c∈R+，求证：

分析不等式为齐次对称不等式，可设ab+bc+ca=3，则不等式可简化为

(a+b)(b+c)(c+a)≥8.

证明注意到待证不等式为齐次对称不等式，不妨设ab+bc+ca=3，则只需证明

(a+b)(b+c)(c+a)≥8.

注意到

(a+b)(b+c)(c+a)=

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc，

则只需证明

3(a+b+c)≥8+abc.

由

可得

abc≤1，

因此a+b+c≥3等价于

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),

最后一式是显然的，故原不等式得证.

6 内切圆代换

当不等式中字母表示三角形的边长时，可用内切圆代换a=x+y,b=y+z，c=z+x,使问题变为正实数范围内的无另加条件的不等式.

例6已知x,y,z∈R+，xyz=1,且x(1+z)>1，y(1+x)>1，z(1+y)>1，求证：

即

2(a2c+ab2+bc2)≥b2c+ac2+a2b+3abc.

(2)

由x(1+z)>1等价于

即

得

a+c>b.

同理可得

b+c>a，a+b>c.

故a,b,c可作为三角形的3条边，作内切圆的替换

a=m+n,b=n+t,c=t+m,m,n,t∈R+，

从而式(2)即为

2∑(n+t)(t+m)2≥

∑(n+t)2(t+m)+(m+n)(n+t)(t+m),

因此

2∑m3+6∑m2n+4∑mn2+12mnt≥

∑m3+5∑m2n+6∑mn2+12mnt,

即

∑m3+∑m2n≥2∑mn2.

最后一式由

m3+t2m≥2tm2,n3+m2n≥2mn2,t3+n2t≥2nt2

可得到，故不等式得证.