简述与年份2010有关的竞赛题

● (绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

简述与年份2010有关的竞赛题

●虞金龙(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

在数学竞赛中常常会出现一些与年份有关的竞赛题,可分为条件中有年份与结论中有年份这2种类型.笔者自编了如下一些与年份2010有关的赛题.

那么f(1)+f(2)+…+f(2 010)的值是________.

即f(x)为偶函数.因为

所以f(x)是以3为周期的函数.从而

f(1)=f(-1)=1，f(2)=f(-1)=1，

f(3)=f(0)=-2,

因此

f(1)+f(2)+…+f(2 010)=

670[f(1)+f(2)+f(3)]=0.

例2设数列{an}(n≥0)满足：

其中m,n∈N,m≥n．

(1)证明：对一切n∈N，有

an+2=2an+1-an+2；

分析(1)在已知关系式

中，令m=n，可得a0=0.令n=0，可得

令m=n+2，可得

由式(1),得

a2n+2=4an+1-2(n+1),a2=4a1-2=6,

a2n+4=4an+2-2(n+2),a2n=4an-2n，

代入式(2)，化简得

an+2=2an+1-an+2.

(2)由an+2=2an+1-an+2，得

an+2-an+1=(an+1-an)+2，

因此数列{an+1-an}是首项为a1-a0=2，公差为2的等差数列，从而

an+1-an=2n+2，

于是

因为

所以

例3正整数集合的最小元素为4，最大元素为2 010，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列，则并集A17∪A59中的元素个数为

( )

A．119 B.120 C.151 D.154

得

从而

|A17∪A59|=|A17|+|A59|-|A1 003|=

119+35-3=151.

例4设[x]表示不超过x的最大整数，则[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 010]=________.

分析当2t≤k<2t+1时，

[log2k]=t,t=0，1,2，…,

且在区间[2t,2t+1)中的正整数有2t.设f(x)=[log2x]，注意到210=1 024，211=2 048，于是

记

S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8×28+9×29+10×210，

则

2S=1×22+2×23+3×24+4×25+5×26+6×27+7×28+8×29+9×210+10×211，

从而

S=10×211-[21+22+23+24+25+26+27+28+29+210]=10×211-211+2=18 434，

因此

[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22 010]=

18 434-37×10=18 064.

例5已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2 010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2 010|(x∈R)，且f(a2-3a+2)=f(a-1),则a的值有

( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

分析由题设知f(x)为偶函数，则考虑当-1≤x≤1时，恒有

f(x)=2×(1+2+3+…2 010)=2 011×2 010.

于是当-1≤a2-3a+2≤1，且-1≤a-1≤1时，恒有

f(a2-3a+2)=f(a-1).

f(a2-3a+2)=f(a-1).

故选D．