一类新的解析函数族

王欢

(湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

定义1[3]设函数f(z),g(z)在U内解析，若存在一个施瓦兹函数φ(z),φ(z)在U内解析，且满足φ(0)=0,|φ(z)|<1,z∈U使得f(z)=g(φ(z)),则称 f从属于g,记为fg.

1 关于P1(a)的一些性质

引理1[3]设f(z)与g(z)在U内解析，g(z)在U内单叶，若f(0)=g(0)且f(U)⊂g(U),则在U内fg.

引理2 设q(z)∈P1(a),则q(z)

q(0)=1=g(0),q(U)⊂g(U),因此

q(z)

定理1的证明因为q(z)∈P1(a),所以存在p(z)∈P,使

q(z)=a+(1-a)p(z)

(1)

定理2的证明因为q(z)∈P1(a),所以q(z)g(z),其中.所以

故

定理3的证明在P与P1(a)之间建立映射为q(z)=a+(1-a)p(z),其中q(z)∈P1(a),p(z)∈P.此映射在P与P1(a)之间是一一对应的，下证在EHP与EHP1(a)之间也是一一对应关系.

设p(z)∈EHP，下证q(z)=a+(1-a)p(z)∈EHP1(a),令q(z)=tq1(z)+(1-t)q2(z).其中q1(z),q2(z)∈P1(a).0≤t≤1.q1(z)=a+(1-a)p1(z),q2(z)=a+(1-a)p2(z).其中p1(z),p2(z)∈P.

故有

a+(1-a)p(z)=q(z)=tq1(z)+(1-t)q2(z)=a+(1-a)[tp1(z)+(1-t)p2(z)],

所以p(z)=tp1(z)+(1-t)p2(z).

因为p(z)∈EHP,所以p1(z)=p2(z).故有q1(z)=q2(z),即q(z)∈EHP1(a),且

类似地，若q(z)∈EHP1(a)，则p(z)∈EHP.

2 关于M(a) 与N(a)的一些性质

定理4 设f(z)∈M(a),且|z|=r<1,则r(1-r)2(a-1)≤|f(z)|≤r(1+r)2(a-1),这个界是最好的，可在函数f*(z)=z(1-z)2(a-1)于点z=reiθ,0≤θ≤2π得到.

同理可得|f(z)|≥r(1-r)2(a-1).

(2)

(1-r)2(a-1)≤|f′(z)|≤(1+r)2(a-1)

(3)

这个界是最好的界,可在函数f**(z)=(1-z)2(a-1)于点z=reiθ,0≤θ≤2π得到.

定理5的证明因为f(z)∈N(a),所以存在g(z)∈M(a)使zf′(z)=g(z),所以 r(1-r)2(a-1)≤|zf′(z)|≤r(1+r)2(a-1).所以(1-r)2(a-1)≤|f′(z)|≤(1+r)2(a-1).

为证明(2)式下界，设f(reiθ)=ReeiΦ,T={w:w=teiΦ,0≤t≤R},则f(U)⊃T,因此γ=f-1(T )是U内从0到z的一条曲线.所以

由p(z)与μ的一一对应关系可知f(z)与μ也是一一对应.

定理7的证明因为f(z)∈M(a)所以存在一概率测度μ使

定理8 设Fa(z)=(1-z)2(a-1),(a>1),若fFβ,gFγ,则fgF(β+γ-1).

定理8的证明fFβ,等价于,等价于,同理可得,因为在U内是单叶的凸函数，所以,这里0≤t≤1.

g(z)∈EHM(a),0≤t≤1,f(z)=tf1(z)+(1-t)f2(z),

类似地若f(z)∈EHN(a)，则g(z)∈EHM(a).

引理5[3]设 P是A中的紧子集，J是HP上一个实值连续凸函数，则

max{J(f)∶f∈HP}=max{J(f)∶f∈P}=max{J(f)∶f∈EHP}.

参考文献：

[1] Uralegaddi B A,Ganigi M D,Sarangi S M.Univalent functions with positive coefficients[J].TamKang J Math,1994,25:225-230.

[2] Owa S,Srivastava H M.Some generalized convolution properties associated with certain subclasses of analytic

functions[J].J Ineq Pure Appl Math,2002,3(3):1-13.

[3] Hallenbeck D J,MacGregor T H.Subordination and extreme-point theory[J].J Pacific Math,1974,50:23-48.