一类弱自相似集的强正则性

祝颖润

(华南理工大学 理学院，广东 广州 510640)

0 引言

自相似集是目前研究得很深入的一类Fractal集，自相似集具有很好的性质，特别是它们具有强正则性，即其Hausdorff维数与Bouligand维数相等[1].强正则集具有很好的运算性质，例如：一个强正则集与任意一个集合的笛卡尔积的Haussdorff维数等于它们的Haussdorff维数的乘积[2].因此，研究集合的强正则性具有十分重要的意义.

1 记号，定义和主要结果

定义1 设X是d中的一个非空紧凸子集且满足X=cl(intX).映射F∶X→X被称为弱相似压缩映射，如果它满足以下性质：(a)F是一个单射；(b)F是强可微的，F∈C1+ε(即存在ε>0和c>0，使得对任何x，y∈X，都有‖DF(x)-DF(y)‖≤c|x-y|ε成立，其中DF(x)是F在x处的Jacobian矩阵，‖DF(x)-DF(y)‖是算子DF(x)-DF(y)的范数)；且对任意的x∈X，0<‖DF(x)‖<1.

下面是本文的主要结果.

定理1 设X是d中的一个非空紧凸子集且满足X=cl(intX)，假设S是由X上的弱相似压缩映射族生成的弱自相似集.如果对任意的i，j=1，2，…，m和x∈X.

‖DFi∘Fj(x)‖=‖DFi(Fj(x))‖‖DFj(x)‖， ‖DFi(x)‖‖DFi(x)-1‖=1

(1.1)

其中DFi∘Fj(x)表示D(Fi∘Fj)(x)，那么dimBS=dimHS.

注1 若对任意的i=1，2，…，m，Fi是保形映射(包含相似映射)，那么对任意的x∈X，DFi(x)是一个相似变换[3],即DFi(x)=ci(x)Ri(x)，其中ci(x)是一个关于x的函数，Ri(x)是一个正交矩阵，因此，容易获得条件(1.1)成立.因此，该结果包含了自相似集和自保形集的情形.

注2 由于Cookie-Cutter集(定义见文献[6])可以被看作是满足强分离条件的弱自相似集，因此，通过应用上述结果可以把1中的Cookie-Cutter集的强正则性推广到高维空间中.

2 定理1的证明

为了证明定理，我们需要用到下面的几个引理.

引理1 在定理的条件下，存在一个正常数b,使得对任何(i1，i2，…，ik)∈Ω*和x，y∈X，

(2.1)

引理1的证明由于对任意的i=1，2，…，m，DFi都是紧集X上的连续算子，且对任意的x∈X，0<‖DFi(x)‖<1;因此存在常数0

(2.2)

对函数log(x)应用中值定理,利用定义1的条件(b)和不等式(2.2),可得

|log‖DFij(Fij+1∘…∘Fik(x))‖-log‖DFij(Fij+1∘…∘Fik(y))‖|=

因此,由导数的链条法则和条件(1.1),可得

|log‖DFi1∘Fi2∘…∘Fik(x)‖-log‖DFi1∘Fi2∘…∘Fik(y)‖|=

引理2 在定理的条件下，存在正常数b1和b2使得对任意的(i1，i2，…，ik)∈Ω*和任意的x∈X，

(2.3)

进一步，Fi1∘Fi2∘…∘Fik∶X→Xi1，i2，…，ik满足对任意的x，y∈X,

(2.4)

并且对任意的j=1,2,…,m,

b2|Xi1,i2,…,ik|≤|Xi1,j2,…,jk,j|<|Xi1,j2,…,jk|

(2.5)

引理2的证明由于Fi1∘…∘Fik∶X→Xi1,…,ik是一个可微的同胚,且X是凸集,因此,由向量函数的中值定理,可得对任意的x,y∈X和u∈d,存在z∈X,使得u·{Fi1∘…∘Fik(x)-Fi1∘…∘Fik(y)}=u·{DFi1∘…∘Fik(z)(x-y)}.选取u=Fi1∘…∘Fik(x)-Fi1∘…∘Fik(y)，根据内积的定义,

|Fi1∘…∘Fik(x)-Fi1∘…∘Fik(y)|≤‖DFi1∘…∘Fik(z)‖|x-y|

(2.6)

选取x，y∈X满足|Xi1，i2，…，ik|=|Fi1∘…∘Fik(x)-Fi1∘…∘Fik(y)|，利用不等式(2.1),可得

|Xi1，i2，…，ik|≤eb|X|‖DFi1∘…∘Fik(w)‖， ∀w∈X

(2.7)

对(Fi1∘…∘Fik)-1∶Xi1，…，ik→X，通过类似的讨论并利用(1.1)可得，对任何x，y∈X，存在z0=(Fi1∘…∘Fik)-1(ω0)∈X，使得

‖DFi1∘…∘Fik(z0)‖|x-y|≤|Fi1∘…∘Fik(x)-Fi1∘…∘Fik(y)|

(2.8)

e-b|X|‖DFi1∘…∘Fik(w)‖≤|Xi1,i2,…,ik|, ∀w∈X

(2.9)

选取b1=max{eb|X|，eb|X|-1},联立(2.7)和(2.9)式可得(2.3)式.联立(2.3)、(2.6)和(2.8)式，可得(2.4)式.对(Fi1∘…∘Fik∘Fj)-1∶Xi1，i2，…，ik，j→X应用向量函数的中值定理，通过类似的讨论易得到(2.5)式左边不等式成立，(2.5)式右边不等式显然成立，从而(2.5)式成立.

(2.10)

ar|x-y|≤|g(x)-g(y)| (x，y∈S).

因此，由隐含定理(见文献[3])可得，集合S的Bouligand维数存在，且dimBS=dimHS.

致谢：本文是在导师吴敏教授的悉心指导下完成的，在此作者对她表示最诚挚的感谢.

参考文献：

[1] 丰德军，饶辉，吴敏.自相似集的强正则性[J].自然科学进展，1996(3)：287-289.

[2] 文志英.分形几何的数学基础[M].上海：上海科技教育出版社，1998.

[3] Falconer K J.Techniques in Fractal geometry[M].New York: John Wiley and Sons,1997：51.

[4] Falconer K J.Fractal geometry:mathematical foundations and applications[M].New York: John Wiley and Sons,1990.

[5] Hutchinson J E.Fractals and self-similarity[J].Indiana Univ Math J,1981,30:713-747.

[6] Liang Jinrong,Yu Zuguo,Ren Fuyao.Messures and their dimension spectrums for ccookie-cutter sets ind[J].Acta Math Appli Sinica,2000,16:9-21.