可微C0-半群的谱

2011-01-04 02:07赵华新
关键词:生成元华新延安大学

赵华新

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

可微C0-半群的谱

赵华新

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

利用可微C0-半群的若干性质给出了可微C0-半群{T(t):t≥0}的生成元A的谱与AT(t)的谱之间的关系.

C0-半群;可微;谱;点谱;剩余谱

在经典的算子半群理论中,谱映射定理是其非常重要的组成部分.文献[1]讨论了C0-半群的谱与其生成元的谱之间的关系,特别阐述了C0-半群的点谱、连续谱、剩余谱与其生成元的点谱、连续谱、剩余谱之间的关系,得到了非常完美的结果.本研究在此基础上,讨论了可微C0-半群谱与其生成元的谱之间的关系,对它们的点谱、剩余谱之间的关系做了初步探讨.

本研究假设X为Banach空间,ρ(A),σ(A),σp(A),σr(A)分别表示算子A的预解集、谱集、点谱集、剩余谱集,R(A)表示A的值域.

定义[1]{T(t):t≥0}为Banach空间X上的C0-半群,若对任意x∈X,t→T(t)x作为t的函数,当t>t0时关于t可微,则称C0-半群{T(t):t≥0}当t>t0是可微的;若C0-半群{T(t):t≥0}当t>0时是可微的,则称C0-半群{T(t):t≥0}是可微的.

引理1[1]设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,则有σ(T(t))⊃etσ(A).

引理2[2]设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0时是可微的,则对任意λ∈σ(A),当t>t0时,有λeλt∈σ(AT(t)),即σ(AT(t))⊃λetσ(A).

引理3[1]设C0-半群{T(t):t≥0}当t>t0时是可微的,其无穷小生成元为A,则对于t>nt0,T(t):X→D(A),T(n)(t)=AnT(t),n=1,2,…为有界线性算子.

注意到(eλt)′=λeλt,比较引理1,引理2,考虑到引理3所给出的可微C0-半群的性质,猜想:对于可微C0-半群,当λ∈σ(A)时,(eλt)″=λ2eλt是否属于T″(t)=A2T(t)的谱集,即是否成立

对此,本研究有如下定理.

定理1 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0是可微的,则对任意λ∈σ(A),当t>2t0时,有λ2eλt∈σ(A2T(t)),即

关于t是可微的,且有(Bλ(t)x)′=T(t)x+λBλ(t)x,由此可见,Bλ(t)为X上的有界线性算子.

令h→0+,则上式右端趋于λBλ(t)x+T(t)xeλtx,由无穷小生成元的定义知x∈D(A),且

令C(t)x=λ2eλtx-A2T(t)x,则C(t)为有界线性算子.设λ∈σ(A),若λ2eλt∈ρ(A2T(t)),则C(t)可逆,且由式(2)可知有

同时,由于C(t)与T(s)可交换,从而C(t)与Bλ(t)可交换,进而可以验证C(t)与 (AT(t)+λB′λ(t))可交换.

这表明(AT(t)+λB′λ(t))C-1(t)是(λ-A)的左逆元.所以有λ∈ρ(A),矛盾.从而当λ∈σ(A)时,必有λ2eλt∈σ(A2T(t)),即σ(A2T(t))⊃λ2etσ(A).

推论1 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0时是可微的,则对任意λ∈σ(A),当t>nt0时,有λneλt∈σ(AnT(t)),n=1,2,…,即

推论1的证明与定理1的证明类似.

下面讨论对于可微C0-半群{T(t):t≥0},AT(t)的点谱、剩余谱与其生成元A的点谱、剩余谱之间的关系,得到如下结论.

定理2 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0是可微的,则对任意λ∈σ(A),当t>t0时,有λeλt∈σp(AT(t)),即

再利用式(1)可得

推论2 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0是可微的,则对任意λ∈σ(A),当t>nt0时,有

推论2的证明与定理2的证明类似.

定理3 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0时是可微的,则对于λeλt∈σp(AT(t)),当t>t0时,存在自然数k,使得

证明 设λeλt∈σp(AT(t)),则存在x0≠0,使得(λeλt-AT(t))x0≠0.f(s)=λe-λsAT(s)x0作为s的函数不恒为零,将f(s)以t为周期进行奇式或偶式延拓,其Fourier系数必有一个不为零.从而存在自然数k,使得

令‖T(t)‖≤Meωt,则当Reμ>ω时,利用A的闭性可得

定理4 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0是可微的,则对任意λ∈σr(A),当t>2t0时,有λeλt∈σr(AT(t)),即有

推论3 设{T(t):t≥0}为一C0-半群,其无穷小生成元为A,如果{T(t):t≥0}当t>t0时是可微的,则对任意λ∈σr(A),当t>nt0时,有λneλt∈σr(AnT(t)),即有

推论3的证明类似于定理4的证明.

利用本研究方法有可能对n次积分C半群的谱映射定理[3]以及α次积分C半群的谱映射定理[4]做进一步研究.

[1] Pazy J H.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations[M].New York:Spring-Verlag,1983.

[2] 周鸿兴,王连文.线性算子半群理论及应用[M].济南:山东科学技术出版社,1994.

[3] 秦喜梅.n次积分C半群的谱映射定理[J].安徽师范大学学报:自然科学版,2008,31(1):16-19.

[4] 杨雯雯,赵华新.α次积分C半群的谱映射定理[J].西南民族大学学报:自然科学版,2009,35(3):462-467.

Spectrum of differentiableC0-semigroups

ZHAOHuaxin
(College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000,Shaanxi Province,China)

By using the properties of differentiableC0-semigroups,the relationships between the spectrum of infinitesimal generatorsAofC0-semigroups{T(t):t≥0}and the spectrum ofAT(t)are discussed.

C0-semigroups;differentiable;spectrum;point spectrum;residual spectrum

O177.31

A

1671-1114(2011)01-0029-02

2010-04-06

陕西省教育厅专项科研计划项目(08JK497)

赵华新(1964—),男,教授,硕士,主要从事应用泛函分析方面的研究.

(责任编校 马新光)

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