小棋盘大乾坤

221700 江苏省丰县王沟中学 蔡际红 刘广平

小棋盘大乾坤

221700 江苏省丰县王沟中学 蔡际红 刘广平

1 问题情境

围棋起源于公元前2000年的古代中国．从古代“井田制”到现代各种管、线、路的立体网络，再到虚拟如互联网络无不与棋盘世界相关．棋盘上最短走法问题是趣味数学问题常见问题，具有很好的教育功能．也是教材和教学实际的重要题材．要解决棋盘网络问题还得从数学入手．

2 原题呈现

在苏教版数学教材2－3计数原理导言部分设置了如下问题情境.

题1 如图1是某城市的街道．西北角是某同学的家，东南角是学校．问:从家经东西4条街、南北5条街(最短距离)，有几种不同的走法?

习题也多次出现由浅入深不同层次的练习题:

题2 (习题1．1T 9)如图2，从A处沿街道走到 B处，使路程最短的不同走法有多少种?

图1

图2 图3

题3 (习题1．1T10)如图3，从A处沿街道走到 B处，使路程最短的不同走法有多少种?

题 4 (习题 1．4T10)如图4，某地有南北街5道，东西街6道，一邮递员从该地西南角的邮局A出发，送信到东北角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法?

图4

3 推广探究

3．1 问题综述

如图5，由m+1条等距a的水平直线和n+1条等距b的竖直直线组成的图形，称为(m+1)×(n +1)棋盘，也称为 m×n格棋盘．从左下角 A0，0到右上角 Am+1，n+1的最短路程为ma+nb．求走最短路线的方法有多少种．

图5

问题可以推广为从任意点到任意点的走法，及经过某点的走法．

格点记法:记A点为A0，0，第i行第j列的格点记为Ai，j．从 A0，0点到 Ai，j的最短走法数记为 ai，j．

3．2 解法探求

爱因斯坦说过……