静电平衡状态下导体球的电荷分布

陈星 朱俏燕

(无锡市第一中学 江苏 无锡 214031)

1 引言

孤立导体的电荷分布已经多有研究[1～2]，但静电平衡状态下导体电荷分布的定量研究稍显少些[3]，尤其是导体接地与否对电荷分布的影响方面的研究.本文就是以导体球为例，通过求解空间电势并利用导体边界条件中电势与电荷面密度的关系探讨导体球在两种典型电场中静电平衡下的电荷分布[4].

2 两种典型电场中导体球的电荷分布

2.1 无穷大匀强电场中不接地导体球的电荷分布

假设不带电的导体球放入如图1所示的匀强电场中，导体外空间无电荷分布.

图1

欲求该导体球的电荷分布，可求解其电势在导体外空间轴对称情形下的拉普拉斯方程

▽2φ=0

(1)

(2)

其中，φ为导体外空间的电势，它是由匀强电场和导体球共同激发的.匀强电场无穷大，所以，可以规定O处的电势为零.而导体是等势体，所以全空间的边界条件为

代入上述通解.

取n=1

由

得

由

有

aRcosθ=-E0Rcosθ

得

可得φ的特解

(3)

根据静电平衡时的导体边界条件，导体球的电荷面密度

3ε0E0cosθ

(4)

取 3ε0E0=1，根据(4)式，可以画出导体球面密度σ随θ的变化关系，如图2(a)所示.由此图还可示意画出导体球表面电荷分布，如图2(b)所示.

由图2可见，在无穷大匀强电场中，不接地导体球达到静电平衡后，在其两端将分别带上异号电荷，并会按照导体球的中轴线按余弦规律对称分布.所以，导体球带的总电荷为零.这也恰好验证了导体静电感应规律，即在靠近正电荷的端感应出负电荷，在靠近负电荷的……