面积比条件下的中考压轴题探究

222002 江苏省连云港市新海实验中学 姜 洋

面积比条件下的中考压轴题探究

222002 江苏省连云港市新海实验中学 姜 洋

面积比条件下的问题是指在图形的运动变化过程中，两个图形满足一定的比值，从而在平面直角坐标系中探求某点的坐标、某直线的解析式、某抛物线的解析式等等.这样的问题常常作为中考压轴题，或作为压轴题的一个子问题出现.本文对2010年的这类中考题进行问题的重构(再发现、再发明)，亲历问题(可能)的生长过程;自觉运用波利亚的“解题表”中的回顾反思环节，融会贯通面积问题的数学思维，以提高解决这类中考压轴题的有效度.

1 面积比条件下点的确定

问题1 (2010年深圳)如图1，抛物线y=ax2+c(a＞0)经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中 A(－2，0)，B(－1，－3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标;

(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立，求点P的坐标.

图1

解 求得抛物线的解析式为 y=x2－4，点 M(0，－2).由于△AOM，△BNM 都为等腰直角三角形，从而△ABM是直角三角形，求出S=×2×=2.如

△ABM图 2，由于 S△PAD=4S△ABM，可求得△ADP的边AD上的高为4，从而点P的纵坐标是4或－4，代入抛物线解析式得 P1(2，4)，P2(－ 2，4)，P3(0，－4).

图2

问题2 (改编于2010年成都市中考压轴题)如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，点 P 是线段 AC 上一点，设△ABP，△BPC 面积分别是 S△ABP，S△BPC，且 S△ABP:S△BPC=2∶3，求点P的坐标.

解 根据高相同，三角形面积之比等于底之比，S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，稍作转化可得点P将线段 AC分割为2∶3.过点P作x，y轴的垂线，垂足分别为点D，E.PD与CO组成A型，AP ∶AC=2 ∶5，从而 PD ∶CO=2 ∶5，可求出 PD=;同理PE=

图3

将问题2稍作拓展:

问……