从高校自主招生试题看数列极限

●徐国君 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

从高校自主招生试题看数列极限

●徐国君 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

数列问题融计算、推理于一体，综合性与灵活性都很强．数列问题的基础是等差数列、等比数列，热点是递推(递归)数列(等差数列、等比数列也是一类简单的递推数列)．问题的形式有求值、求通项、求和以及讨论数列的单调性、周期性、有界性、整除性等．而数列极限问题往往是数列综合问题，并且是和高等数学联系最为紧密的知识模块之一，因而成为高校自主招生考试的重点内容之一．本文将结合高校的自主招生试题谈谈数列极限方面的一些浅显见解，供同行参考．

1 高校自主招生试题中出现的数列极限的内容要点

1．1 3个最基本的极限

1．2 数列极限的四则运算

推广上面法则可以推广到有限多个数列的情况．例如，若{an}，{bn}，{cn}有极限，则

1．3 无穷数列各项的和

(1)无穷递缩等比数列各项的和．

当公比|q|＜1时，无穷等比数列{an}称为无穷递缩等比数列．

1．4 求数列极限的方法与基本类型

(1)求数列极限的基本思路．

求和—变形—求解，而在求解前应先化为3个基本的极限形式．

(2)常见的几类数列极限的类型和方法．

2 高校自主招生真题链接

分析利用n的任意性，设法消去b，先找出an－1，an与 an+1间的递推关系式．

解(1)由条件得

评注本题求解的关键是利用特征方程求数列通项的思想方法．

3 反思与认识

随着高校自主招生的日益普及，其自主性也大大增加，近几年还出现了高校联盟招生……