函数连续性与一致连续性的探讨

周明益 （扬州工业职业技术学院基础部，江苏扬州225000）

函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容，函数f（x）在某区间内连续，是指函数f（x）在该区间内每一点都连续，它反映函数f（x）在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数f（x）在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数f（x）的变化趋势及性质。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，笔者对函数一致连续性的概念、判定条件以及两者之间的联系进行了深入的分析和总结。

1 函数连续的局部性

定义1函数f（x）在∪（x0）内有定义，则函数f（x）在点x0连续是指 ∀ε＞0，∃δ＞0，使得当｜x-x0｜＜δ时，有：

函数f（x）在点x0处连续，是否意味着f（x）在x0的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的[1]。如函数y＝xD（x）只在x＝0连续；函数y＝（x-1）（x-2）D（x）仅在x＝1，x＝2连续；又如函数：

容易证明这个函数在任意点是连续的，却不能一笔画出函数在x＝0的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解f（x）在x0连续。当且仅当f（x）在x0的邻域∪（x0，δ）内每一点都连续，才能说f（x）在x0的邻域内连续。函数在点x0处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意。但是，如果在连续点x0的函数值f（x0）≠0，那么上述情形就不会出现。

命题1设f（x）在x0连续，且f（x0）≠0，则一定存在x0的某个邻域，使f（x）在此邻域内连续。

证明因f（x）在点x0连续，即 ∀ε＞0，∃δ＞0，使得 ∀x∈∪（x0；……