基于极差理论的基桩承载力可靠性分析

刘士清， 郑俊杰， 边晓亚， 徐志军

(华中科技大学 土木工程与力学学院，湖北 武汉 430074)

诸多不确定因素的存在，导致了基桩极限承载力的分析和确定成为桩基工程最困难的问题之一［1］。Tang［2］和 Bea［3］根据静载试验结果详细地研究了单桩竖向承载力的不确定因素，研究结果表明:最重要的两个不确定因素是桩侧摩阻力和桩端阻力。可靠度分析需要大量“相同的”子样本［4］，但是，现阶段静载试验结果受限于基桩的检测数量(一般单位工程2～3根，多栋建筑群3～6根)，因此试验结果往往很少，并且数据的离散性很大，大大增加了可靠度分析的难度。Zhao［5］研究了钻孔灌注桩的现场静载荷试验。Fellenius［6］对已有的静载荷试验结果进行了详细的分析。Zhang［7］利用Bayesian统计和静载荷试验结果修正了基桩承载力的安全系数和可靠度指标。在国内，如果试验结果比设计值高出很多时，除非有地区经验，实际工程中一般不会直接按试验结果的平均值使用，需要进行综合评估［8］。对某些试验结果相差较大时，为安全起见一般取低值使用［8］。另外，根据文献［8］的规定，当试验结果的极差不超过平均值的30%时，取其平均值为单桩竖向抗压极限承载力(对桩数为3根及以下的柱下承台或检测数量少于3根时，应取低值)。文献［8］的这些规定是根据工程经验提供的一种安全保障措施，但是缺乏理论依据。本文基于数理统计中的极差理论，利用静载试验结果给出了基桩竖向承载力可靠度指标的计算方法，通过实例分析表明，该方法的精度满足工程需要。

1 承载力的概率分布

基桩竖向承载力R的表达式为［8］

式中，R表示基桩竖向承载力;d表示平均桩径;L表示桩长;Ap表示桩端面积;Qs表示桩侧平均摩阻力;Qp表示桩端平均端阻力。

式(1)中参数的取值是用平均值表达的，但是由于诸多不确定性因素的存在，如地质勘察、抽样调查、现场试验、试验室测试、时间效应及荷载效应等［1］，实际上桩径 d、桩侧摩阻力 qs和桩端阻力qp等具有随机变量的特性。将桩长k等分、桩底面积n等分，式(1)可转化为

在工程实际中，对预制桩而言，桩径d和桩端面积Ap是确定值，R由单一的随机变量之和的平均值组成，因此可近似认为随机变量R的概率分布为正态分布。对灌注桩等具有一定充盈系数的桩型，桩径d和桩端面积Ap是随机变量，R由不同随机变量的乘积之和组成，可近似认为其概率分布为对数正态分布。对扩底尺寸各不相同的人工挖孔桩等，随机变量R也具有单一的概率分布形式，对多数不计摩擦力的人工挖孔灌注桩，R/Ap作为随机变量近似服从对数正态分布，因此基桩承载力可以近似地看作服从对数正态分布。

综上所述，对于基桩竖向承载力，主要服从对数正态分布和正态分布两种形式，本文考虑对数正态分布的情况。

2 变异系数的估算

为了计算基桩竖向承载力的可靠度指标，必须知道随机变量R的概率分布和参数统计。对于对数正态分布，其参数为期望和方差，期望可以根据实测结果的平均值来估算，误差是可以接受的［9］。但当抽样的样本容量n很小时，如果直接采用试验样本的变异系数来估计总体，其误差较大。如果增加抽样数量，不仅会延长工期，而且会增加工程成本，这显然也是不可取的。数理统计中的极差理论能够较好地解决小样本产生的问题，就是由抽检样本的极差来估算总体样本的标准差，并将其作为对数正态分布的参数之一［9］。

假定基桩竖向承载力总体概率分布为对数正态分布，其概率分布函数和密度函数分别为

根据抽样分布的定理可知［10］，从总体样本中随机抽取n(n≥2)个样本点，其中最大值与最小值之差定义为极差ΔR，则ΔR概率分布的表达式为

式(6)表示当承载力R服从对数正态分布时，极差比α的概率分布函数。它仅与抽样数量n和σ或总体样本变异系数δR有关，与总体样本平均值无关。该式所表示的概率分布函数值可采用数值积分法通过Fortran语言编程进行计算［11］。

为了通过抽检样本的极差比α估算总体样本的方差或变异系数δλg，假定已知总体样本的方差为σ。根据式(6)的概率分布函数来估计抽样样本的极差比α，由概率理论可知，可以采用期望值法或中位数法对总体方差进行估计［9］。

对于某一具体的桩基工程，设第一次抽检n0根桩，其极差比的实测值α=α0，α0的值能基本反映该工程的地质条件和桩的施工水平。因此，理论上再重复k次抽检同数量的n0根桩，其极差比的实测值应等概率地分布在α0的两侧，即后续抽样所得的极差比α＜α0的概率在k足够大时应为P=0．5，此时加上第一次的抽样，总共抽样次数N=k+1，其中有k/2次抽样结果满足α＜α0，因此极差比α＜α0的概率可近似表达为

当 k → ∞ 时，FΔR(α0)=0．5，故本文选用中位数法来估计抽样样本的极差比，它与期望值相比的优点是不受少数特别大数值的影响，只代表一次抽样时最可能出现的值，由此估计极差比α的公式为

根据工程实际，极差比的合理取值范围一般为 α =0．1～0．4［8］。由上式求解对应的 α 值，然后求出变异系数δR，令系数C= α/δR，求出系数C后，就可根据抽样样本的极差比来估计总体样本的变异系数。表1给出了不同极差比时系数C和δR的计算结果。

表1 系数C和δR的计算结果

3 可靠度指标计算

3．1 计算公式的推导

假定上部结构承受的永久荷载标准值为G，可变荷载标准值为Q，其相应的荷载效应分别为SG和SQ，它与荷载成线性关系。因此，其统计参数可用荷载的统计参数代替［12］。根据现行设计规范的要求，基桩竖向承载力的设计表达式为

式中，FOS表示传统应力设计法下的安全系数，一般取2．0［3］。因此，由式(9)可得基桩竖向承载力极限状态方程表达式为

无量纲化后的极限状态方程为［1］

式中，λR为基桩承载力的偏差系数;λG和λQ为永久荷载和可变荷载的偏差系数。令ρ=SQ/SG，在工程设计中，ρ的取值范围为0．1～2．0。

在分析基桩承载力的可靠度时，荷载对可靠度的影响不会随着其他条件的改变而产生较大的改变，所以荷载可以看作“常量”［1］。永久荷载的概率分布服从正态分布，可变荷载的概率分布服从极值Ⅰ型分布，其统计参数为

式中，μ(λG)和μ(λQ)分别表示永久荷载和可变荷载均值;σ(λG)和σ(λQ)分别表示永久荷载和可变载荷方差。因此，永久荷载和可变荷载的密度函数的表达式分别为

采用当量正态化方法通过迭代求出验算点和可靠度指标β，具体计算过程可参见参考文献［13］。

当基桩竖向承载力概率分布函数为对数正态分布时，偏差系数λR也服从对数正态分布。在一般正常情况下，其平均值大于或等于设计采用的标准值，即μλR≥1．0，变异系数的合理取值范围一般为0．1～0．4。表2和表3分别给出了λR的均值 μλR分别为 1．00 和 1．18，以及变异系数 δλR分别为0．15、0．20、0．25、0．30 和 0．35 时 β 的计算结果。

表2 可靠度计算结果(μλR=1．00时)

表3 可靠度计算结果(μλR=1．18时)

3．2 目标可靠度的选择

当可靠度指标确定后，应该用目标可靠度来衡量该工程是否满足实际需要［14］。由于岩土工程尤其是桩基工程中存在很多不确定因素，岩土工程可靠度发展比较滞后，目前还没有相关规范规定岩土工程目标可靠度值。国内外学者对目标可靠度进行了一些研究，取得了一些有意义的成果。表4给出了美国军工部对可靠度指标和安全等级关系的规定。表5给出了《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB 50068-2001)对建筑结构构件承载力规定的目标可靠度指标［15］。

对于不同的基础形式，其目标可靠度的选取值是有很大差别的。譬如，文献［16，17］建议将打入桩承载力的目标可靠度指标取为2．0～2．5，钻孔灌注桩为2．5 ～3．0;文献［18，19］建议用3．2作为基础工程承载力的目标可靠度指标。关于基桩检测合格率的目标可靠度，郑俊杰等人［20］建议采用3．2;对于更加复杂的多桩型复合地基沉降问题，刘勇等人［21］建议将3．0作为目标可靠度。

表4 可靠度指标与失效概率的关系

表5 建筑结构构件承载力极限状态设计目标可靠指标

综合以上目标可靠度指标的研究成果，本文建议取3．2作为基桩承载力的目标可靠度指标来进行研究。

4 实例分析

本文通过验证文献［8］中关于极差比的规定是否满足实际工程的可靠度要求来说明上述各节计算结果的应用过程。假定抽检n个样本实测值的极差比约为30%，根据表1的计算结果可求得总体样本的变异系数，当取实测结果的平均值为设计标准值时，可参照表2的结果和方法计算相应的可靠度指标，它是抽检数量n和荷载比ρ的函数。表6列出了极差比为30%时可靠指标β的计算结果，由表2的结果可知，由于荷载比ρ的变化对可靠指标β的影响并不显著，因此表6中未把荷载比ρ作为变量列出，而是将可靠指标β随ρ的变化范围列出。

表6 α=0．30时可靠指标的计算结果

由表6可知，当抽检桩数 n≥3时，β≥3．2，因此取其平均值作为基桩竖向极限承载力，其可靠指标能满足3．0要求;当 n=2时 β=1．8～2．3＜3．2，可靠度指标不能满足要求，因此，抽检2根桩时不能取平均值，这与文献［8］的规定一致;当抽检桩数为2且极差比α=0．30时，由表1可知总体样本的变异系数 δλR≈0．35，按照文献［8］的规定，应取低值作为基桩竖向极限承载力，此时μλR=1．18，由表3的结果知，可靠度指标 β=2．3～2．7＜3．2，不能满足要求。由表 3 还可知，当 μλR=1．18，δλR=0．25 时，可靠度指标 β =3．3 ～ 3．5＞3．2，满足要求。此时可据表1反算极差比，由表1可知，当α=0．2～0．3时，比例系数C的平均值¯C=(0．92+0．87)/2=0．895，则极差比α=0．895 ×0．25≈0．22，因此当抽检桩数为 2 根时，即使取低值，也应限制其极差比不超过22%，否则应增加抽检数量或降低设计取值。

5 结论

(1)当抽检桩数n≥3时，相关检测规范的规定与概率理论计算的结果是一致的。

(2)当抽检桩数n=2时，极差不超过平均值的22%，可取低值作为基桩竖向极限承载力。

(3)如果抽检3根以上的桩，其极差较小时，根据本文可靠度指标的分析结果，理论上设计采用值可比实测结果的平均值适当提高，提高的幅度可以用本文所给方法的计算值为参考，综合考虑其他条件决定，毕竟基桩竖向承载力随机变量的概率分布函数是近似的。

(4)本文介绍的计算方法可供结构设计人员根据破坏性试桩的实测结果确定最终的设计取值时参考。

本文方法的应用条件，对于极差必须是全部试桩均达到破坏标准后的结果之差，此时据此估算的总体样本的变异系数才具有可信性，只要有一根试桩未破坏，其值会影响样本的真实性。在实际工程的检测中，往往因各种原因很多检测的试桩没有达到破坏，此时不能应用本文介绍的极差方法分析基桩竖向承载力的可靠度。

［1］ 郑俊杰，徐志军，刘 勇．基于最大熵原理的基桩竖向承载力的可靠度分析［J］．岩土工程学报，2010，31(11):1643-1647．

［2］ Tang W H．Uncertainties in Offshore Axial Pile Capacity［C］//Proceedings of Foundation Engineering:Current Principles and Practices．New York:American Society of Civil Engineering，1989:833-847．

［3］ Bea R G，Jin Z，Valle C．et al．Evaluation of reliability of platform pile foundation［J］．Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，1999，125(8):696-704．

［4］ MelchersR E．Structural Reliability Analysis and Pre-diction［M］．Chichester:John Wiley，1999．

［5］ Zhao C Z，Yin J H．Field static load tests on drilled shaft founded on or socketed into rock［J］．Canadian Geotechnical Journal，2000，37(6):1283-1294．

［6］ FelleniusB H．Analysis of results from routine pile load tests［J］．Ground Engineering，1980，13(6):19-29．

［7］ Zhang L M．Reliability verification using proof pile load tests［J］．Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2004，130(11):1203-1213．

［8］ JGJ 94－2008，建筑桩基技术规范［S］．

［9］ Ang A H-s，Tang W H．Probability Concepts in Engineering:Emphasis on Applications to Civil and Environmental Engineering(2nd Edition)［M］．New York:John Wiley＆ Sons，2006．

［10］ Shao J．Mathemathical Statistics［M］．New York:Springer，2003．

［11］ Bose S K．Numeric computing in Fortran［M］．Oxford U K:Alpha Science International，2009．

［12］ 罗书学．桩基概率极限状态法及其工程应用［M］．成都:西南交通大学出版社，2004．

［13］ Melchers R E．Structural Reliability:Analysis and Prediction［M］．England:Ellis Hardwood;New York:Wiley，1987．

［14］ 景诗庭，朱永全，宋玉香．隧道工程结构可靠度［M］．北京:中国铁道出版社，2002．

［15］ GB 50068-2001，建筑结构可靠度设计统一标准［S］．

［16］ American Association of State Highway and Transportation Officials．LRFD Bridge Design Specifications［S］．Washington，D．C．，1997．

［17］ Lin S Q，Zheng J J，Xu Z J，et al．Reliability Analysis of Vertical Bearing Capacity of Pile Based on Static Loads Tests［C］∥ Advance Materials Research，2011，243-249:5745-5750．

［18］ Withiam J L．Load and Resistance Factor Design for Highway Bridge Substructures［R］．Report No．FHWA HI-98-032， Federal Highway Administration，Washington，D．C．，2001．

［19］ Phoon K K．Reliability Based Design of Foundations for Transmission Line Structures［D］．New York:Department of Civil and Environmental Engineering，Cornell University，1995．

［20］郑俊杰，刘 勇，郭 嘉，等．基桩检测合格率的概率分析及可靠度评估［J］．岩土工程学报，2009，31(11):1660-1664．

［21］刘 勇．可靠度性设计在多桩型复合地基中的应用研究［D］．武汉:华中科技大学，2007．