基于TDA-ESPRIT的电力系统间谐波检测

陈哲，袁越，傅质馨，吴博文

（河海大学能源与电气学院，江苏南京210098）

随着现代电力技术的发展，大功率电力电子器件得到了广泛应用，电力系统中的谐波与间谐波[1-3]污染也因此日益严重。对电力系统中的谐波与间谐波进行检测与分析[4-15]，不仅有利于电能质量的评估，而且还关系到电力系统中的谐波与间谐波的治理。

传统的谐波检测方法以傅里叶变换为主，快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)及其改进算法已得到广泛的应用[16-18]。但受采样频率与采样时间窗的限制，FFT存在着栅栏效应和频谱泄露等问题，严重影响电力系统中的间谐波的测量。信号参数估计的方法可以对电力系统中的谐波分量与间谐波分量的参数进行准确估计，因而受到了广泛关注[19-23]，但信号参数估计的方法计算效率低，因而其使用受到了限制。

目前空间谱估计的算法主要有多重信号分类(Multi-Signal Classification,MUSIC)算法[19]和基于旋

传统的ESPRIT算法在进行频率估计时要计算其自相关矩阵，并进行特征分解。在阵列信号阵元数较多的情况下，此方法的计算量会变得很大。为提高计算效率，一般改进的算法是采用其他的方式来避免特征分解。文献[24]提出了一种利用迭代计算来进行参数估计的方法；文献[25]则利用基于维纳滤波器的降维技术来避免特征分解。在被处理的信号中的正弦分量增加时，这些方法的计算量会大幅增加。如果能在使用ESPRIT算法进行频率估计前，利用其他较简单的方法减少原信号中正弦波分量的数量，无疑可以在很大程度上提高计算效率。

本文基于ESPRIT算法，先利用时域平均技术(Time-Domain Averaging,TDA)[26]将原信号中的基波与谐波分量分离出来，再对原信号中的间谐波分量进行估计。由于在进行参数估计的信号中，正弦分量的数目减少了，因而所需的运算量也相应减少。最后，本文以复合信号与变频调速系统的分析为例，对本算法进行了验证，其结果表明，利用此方法进行间谐波估计，在提高计算效率的同时，也保证了计算精度。

1 ESPRIT算法

ESPRIT算法是根据稳定信号经过时移后其正弦成分的频率与幅值不变的原理，来估计信号中正弦成分的频率，并以此为基础，进一步对信号的幅值与初始相角进行估计的一种算法。

1.1 ESPRIT的原理

假设信号x表示成复指数形式为：

式中，Δt为采样间隔；N为采样点数。将其写为矢量的形式为：

其中，

其中，

可以看出只要能估计出对角矩阵Φ，就能得到原信号中所有正弦分量的频率。

1.2 求解ESPRIT的方法

一般的方法是根据信号的自相关矩阵来估计的。令：

其自相关矩阵可表示为：

式中，∧∈CM×M为对角阵，其秩为K軒；U∈C2N×M。设U＝

式中，UK軒∈C2N×M为信号子空间；UW∈C2N×（M-K軒）为噪声满秩对角矩阵。故存在非奇异矩阵Q，使得：

由于Q为非奇异矩阵，ψ=Q-1ΦQ，可知ψ与Φ有相同的特征值，求出ψ的特征值，即可得到原信号中全部正弦分量的频率。采用最小二乘法求ψ时结果如下：

实际计算时，如果令Δl=Δd=Δt，则进行分析所需的采样点数为N+M，也就是说采样点数只需要大于信号中正弦分量数的4倍，就可以利用ESPRIT进行信号的参数估计，这比采用FFT所需的采样点数少很多。

2 时域平均技术

在基波频率确定，且采样为同步采样的前提下，可以使用时域平均技术[26]。使用TDA处理的采样信号必须满足以下条件。

1）基波频率已知或可以很精确地估计出来；

2）满足对基波进行同步采样的条件，且信号频

率不发生波动。

2.1 TDA的原理和算法

将信号x表示为：

式中，x（0t）为原信号；w（t）为噪声。设采样间隔为Δt，采样点数为N，则：

将采样信号平均分成M段长度为T0=J·Δt的信号（J为T0内的采样点数，且满足N=M·J），并按式（21）作平均计算，得到长度为J的序列a（iΔt）：

然后将序列a（iΔt）按扩展到整个采样空间，即

则新的序列aM（nΔt）即为TDA的结果，其中n=0,1,…，N-1。

对式（21）和式（22）作Z变换可得：

则TDA的传递函数可表示为：

令z=ej2πfΔt，可得其频率响应。其相频响应为Φ（Mf）=0，幅频响应满足：

当M=10，f0=50 Hz时，其幅值响应曲线如图1所示。可以看出，时域平均技术相当于一个只允许基波和谐波通过的滤波器。经过TDA后的信号中的间谐波成分很少，只要对aM（nΔt）作DFT，就可以得到较精确的原信号中的基波和谐波的成分。

图1 TDA的传递函数幅频响应曲线

2.2 差值滤波的原理

以时域平均技术为基础，文献[26]中提出了一种差值滤波（Difference Filter,DF）的方法，就是将原信号x（nΔt）与aM（nΔt）做差，所得结果作为DF的滤波结果。DF的传递函数为：

令z=ej2πfΔt，可得其频率响应。其相频响应为Φ（Mf）=0，幅频响应满足：

当M=10，f0=50 Hz时，其幅值响应曲线如图2所示。可以看出,在满足基波频率确定，且采样为同步采样的前提下，经过DF的信号中将只剩下间谐波分量。这种算法计算简单，精度也较高，但它要求的条件也较苛刻。

图2 DF滤波器的传递函数幅频响应曲线

3 结合时域平均技术的ESPRIT算法

直接采用ESPRIT算法进行信号参数估计时，其运算量会随着信号中的正弦分量数的增加而大幅增加。采用TDA技术可以很有效地将原信号中的基波分量与谐波分量分离，实现简单，精确度高，可以减少原信号中的正弦分量数。对剩下的间谐波分量采用ESPRIT技术进行参数估计，可以得到准确的信号中间谐波频率，在计算精度上比传统的FFT算法要高。具体做法如下。

1）在基波频率确定，且采样满足同步采样的前提下，先利用DF滤波器将原信号中频率确定的基波与谐波分量滤除，得到只含有间谐波分量的信号。

2）采用ESPRIT技术对信号中的间谐波分量的频率进行估计。由于DF滤波器的相频响应，因而利用DF处理信号将不会使原信号中的间谐波分量相角发生偏离，也不会影响到利用ESPRIT技术估计出的间谐波频率的精度。但由式（27）可知，经过DF滤波器后的间谐波分量的幅值会出现一定程度上的衰减。

3）为对间谐波分量的幅值与相角进行精确估计，采用的方案是利用由ESPRIT技术估计到的间谐波频率，直接对原采样信号中的间谐波分量的幅值和相角进行估计。

结合了TDA的ESPRIT算法的原理图见图3。利用结合了TDA的ESPRIT算法对原信号中间谐波的频率进行估计时，由于被处理的信号中的正弦分量数减少了，因而其在计算速度上将会较直接使用ESPRIT算法的快。但受TDA使用条件的限制，本文所述方法只适用于基波频率确定，且同步采样的场合。

图3 结合了TDA的ESPRIT算法原理图

4 仿真分析

4.1 复合信号分析

本节采用文献[23]的算例1，设某信号中含有2次、3次、4次、5次和7次谐波，并含有2个频率分别为82 Hz与182 Hz的间谐波分量，其幅值依次为0.5、3.0、1.0、4.0、2.5、3.0和5.0；信号中的基波分量已滤去，并加入20 dB的白噪声信号；信号的采样频率为2400 Hz；采样点数为480。对信号进行FFT，其波形图和FFT结果见图4；图4表示82 Hz的间谐波与182 Hz的间谐波发生了频谱泄露。

图4 原信号的波形和其FFT结果

采用本文所述的方法，对原信号进行DF处理，处理后的波形和其FFT结果见图5。从图5可以看出，在经过DF处理后的信号中只剩下间谐波信号。对经过DF处理后的信号利用ESPRIT进行参数估计，所得结果见表1。表1中数据显示，采用结合了TDA的ESPRIT方法的幅值估计结果和直接采用ESPRIT方法的估计结果相差不大，相对误差绝对值都不到1%，其误差值可以认为是由噪声信号引起的。表1同时列出了采用补零法的FFT的分析结果。FFT受采样窗宽度的限制，其分辨率有限；采用补零法可以提高分辨率，但依然无法完全阻止频谱泄露的问题。仿真算例表明，采用本文所述的方法估计信号的幅值和相角时，其结果的精度比利用FFT得到的结果要好。在计算效率方面，结合了TDA的ESPRIT方法在进行频率估计时，信号中只有2个正弦分量，比原信号中7个正弦分量少了5个，因而其计算效率较直接使用ESPRIT方法要高。

表1 间谐波检测结果比较

图5 经过DF处理的信号波形和其FFT结果

4.2 变频调速系统中的间谐波分析

本节采用文献[27]所述的调速系统进行仿真，系统图见图6。电源频率为60Hz，电机转速设为1440 r/min，其余参数参考文献[27]。对该系统进行仿真分析，可得其电源输出电流Is的波形如图7所示。取采样频率为12000 Hz，采样点数为2400个，分别采用ESPRIT法和本文所述方法对采样信号进行分析，结果见表2。

图6 交流调速系统图

图7 电源电流波形图

表2 交流调速系统中的间谐波检测结果比较

文献[12]对ASD系统进行了分析，其间谐波频率可由式（28）得到：

式中，fh是间谐波的频率；f1是逆变器输出频率；fs是电源频率；μ的典型值为2；k＝1，5，7，…。可知该系统的主要间谐波频率为36 Hz和156 Hz，与利用ESPRIT方法估计的结果接近。比较仿真结果可以看出，结合了TDA的ESPRIT方法保留了ESPRIT方法的超分辨率等优点，2种方法所得到的结果在精度上十分接近。同时，由于进行特征分解前去掉了大量的谐波分量，所以结合了TDA的ESPRIT方法的计算效率较直接采用ESPRIT方法要高。

5 结论

利用空间谱估计的算法检测间谐波拥有分辨率高的优点，可以有效避免栅栏效应和频谱泄露等问题，但当所分析的信号中正弦分量增加时，其计算速度会大幅增加。如果在利用ESPRIT算法前，先将原信号中的部分谐波分量分离，可以有效减小ESPRIT算法的运算量。采样TDA的方法可以有效将原信号中的基波分量与谐波分量提取出来，减小待分析信号中正弦波含量，从而提高计算效率。仿真结果表明，此方法的计算精度较高。但受TDA使用条件的限制，本文提供的方法只适合应用于信号频率稳定，且采样信号为基波的同步采样的场合。

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