基于矢量距免疫算法的电力系统最优潮流计算

马元社,张建平，王晶，张凡

（西安西电电力系统有限公司，陕西 西安710077）

电力系统最优潮流(OPF)[1-4]是一个复杂的非线性规划问题，要求在满足特定的电力系统运行和安全约束条件下，通过调整系统中可利用控制手段实现预定目标最优的系统稳定运行状态。

在最优潮流这一研究领域内已有多种方法，如非线性规划法[5]、内点类算法[6-7]、遗传算法[8-25]和混合算法[26-27]等，都取得了一定的成果。免疫算法(IA)[28]是继神经网络和遗传进化算法后新发展起来的启发式算法。目前应用免疫算法的最优潮流都是基于信息熵的免疫算法[29]，存在计算复杂,设置的参数需要凭经验调节，含有冗余计算信息和只适用于二进制编码等缺点。本文把基于矢量距的免疫算法[30-31]应用于电力系统最优潮流，采用浮点数编码，大大简化了编码方式和计算难度，同时引进了多种计算算子，在优化计算的过程中动态调整个体的选择率。最后通过标准数据和基于信息熵免疫算法计算，并进行了比较，验证了所用方法的正确性。

1 最优潮流的数学模型

1.1 目标函数

最优潮流有各式各样的目标函数，最常用的有2种：系统运行成本最小和有功传输损耗最小[32]。从电力系统调度运行研究的角度考虑，本文以系统运行成本最小为目标函数，即以火电机组燃料费用最小，不考虑机组启动、停机等费用。目标函数为：

式中，PGi为第i台发电机的有功出力；a2i,a1i,a0i为其能耗量特性曲线参数；SG为所有发电机集合。

1.2 约束条件

约束条件包括等式约束和不等式约束，等式约束有潮流平衡方程，不等式约束有控制变量和状态变量上下限约束。

式中，Pij=UiU（jGijcos θij+Bijcos θi）j-Gij。其中，式（2）为等式潮流约束方程，PGi和QGi为发电机节点i的有功出力和无功出力，PLi和QLi为负荷节点i的有功负荷和无功负荷，QCi为无功补偿装置节点i的无功补偿容量；式(3)中，各式依次为电源有功出力变量及其上下界约束，无功源无功出力变量及其上下界约束，节点电压变量及其上下界约束，线路潮流约束。式中，SB为系统所有节点集合；SR为所有无功源集合；SL为所有支路集合；Ui，θi为节点i的电压幅值和相角；Pij为线路两端的有功潮流。

2 矢量距免疫算法

现代免疫学理论认为免疫系统功能是通过分布在全身的免疫细胞协同工作实现的。免疫细胞主要由吞噬细胞和淋巴细胞组成。淋巴细胞又分为B细胞和T细胞2种主要类型。B细胞由骨髓产生，它能够产生抗体，执行特异体液免疫功能；T细胞则由胸腺产生，执行特异细胞免疫和免疫调节功能。根据上述机理可将抗原、B细胞和抗体分别对应于优化问题的目标函数、优化解、解的适应度函数（f x）。N个抗体构成了一个非空免疫系统集合X。若规定抗体（f x）i在集合X上的距离ρ（x）i为[30]：

则第i个抗体浓度可表示为：

由上式可推导出基于抗体浓度的概率选择公式：

由式（6）知，集合X中与抗体i基因相似的抗体越多，抗体i被选中的概率就越小。反之，与抗体i基因相似的抗体越少，抗体i被选中的概率就越大。这使含有有效进化基因的低适应度个体也可获得繁殖的机会。因此，基于矢量距的免疫算法在理论上保证了解的多样性。

3 最优潮流的算法实现

3.1 抗体编码

根据发电机的有功及无功上下限，编码用浮点数表示，无需解码，计算简单，有效地避免了信息熵免疫算法只适合二进制编码的局限，初始化编码时在其上下限范围内随机取其一。

3.2 自适应交叉和变异算子

以往的人工免疫算法中的交叉和变异算子均是采用固定的交叉和变异算子，不能很好地保护每代中的较优抗体。本文引入自适应调整的方式[33]，即交叉和变异算子可以根据每个个体的适应度不同来调整交叉和变异的概率，适应度越高的个体，其交叉和变异概率越低，也就是被破坏的概率越低，这在很大程度上保护了较优个体。具体表示如下：

式（7）和（8）中，PCmax、PCmin、PMmax、PMmin分别为给定的自适应概率调整范围；F为参与计算个体的适应度值(交叉计算中取2个体适应度中的较大值)；favg和fmax为每代群体中平均适应度值和最大个体适应度值。

3.3 算法求解步骤

算法解法步骤如下。

1）输入电网原始数据，设置抗体规模、最大迭代次数等参数，置k=1,并初始化B细胞。

2）计算每个B细胞对应的燃料费用，找出本代中燃料费用最佳的B细胞。

3）计算每个B细胞适应度函数值（本文是燃料费用的倒数）,生成抗体。

4）将分泌最佳的1个或多个抗体（本文取为3）作为免疫记忆细胞保留。

5）计算抗体的浓度,并用基于抗体浓度的概率公式选择抗体。

6）通过自适应交叉和变异，产生新一代B细胞。7）将新的B细胞中的最佳值与上一代的免疫记忆细胞比较，择其优者形成新一代免疫记忆细胞。

8）判断是否已达到最大迭代次数。若是，则输出计算结果，否则k=k+1,转步骤2)。

4 算例分析

4.1 测试系统简介

IEEE 30标准测试系统有6台发电机，参数见表1（详细参数见文献[34]），IEEE 30节点标准系统结构见图1，本文中可调变压器和并联电容器不参与优化，只考虑发电机有功和无功出力。

表1 IEEE 30节点标准系统发电机参数

图1 IEEE 30节点标准系统结构

算法编程用MATLAB语言实现，在CPU为AMD、主频2.0 MHz、内存256 M的PC机上运行。用基于信息熵的免疫算法和基于矢量距的免疫算法进行比较，2个算法参数设置一致：种群规模100，迭代次数100，交叉率和变异率变化范围分别为[0.70,0.90]和[0.01,0.05],初始值取上下限的中值。算法1为基于矢量距的免疫算法，算法2为基于信息熵的免疫算法。

4.2 结果比较及分析

表2为各台发电机有功出力和无功出力计算10次的平均结果数据。从结果数据可以看出，算法1发电机总有功出力为3.0183 MW,算法2为3.1008 MW,算法1比算法2降低了0.0825 MW；算法1发电机的无功出力为1.0554 MV·A，算法2为1.0647 MV·A，算法1比算法2降低了0.0093 MV·A。表3为燃料费用、收敛代数和计算时间计算10次的平均结果数据。从表3可见，算法1的燃料费用比算法2降低了70.0601美元，说明算法1有更好的全局搜索能力；收敛代数基本相同，不同的是算法1的计算时间比算法2多了14 s，但这在实际应用中完全是可以忽略不计的。图2为2种算法的计算过程收敛曲线图。在大量的反复计算中发现，算法2在收敛过程中有时会出现有较大的波动，相比之下，算法1具有更好的稳定性和全局搜索能力。

表2 各发电机出力计算结果比较

表3 燃料费用及其相关参数结果比较

图2 燃料费用计算过程比较

5 结语

免疫算法是近年来新发展起来的一种启发式搜索算法。本文将基于矢量距理论的免疫算法应用于电力系统最优潮流计算，通过IEEE 30节点标准测试系统计算多次，分析表明：

1）矢量距免疫算法比信息熵免疫算法具有更好的全局搜索能力。

2）算法性能稳定，收敛性好。

3）引入自适应交叉和变异算子，在很大程度上保护了每代抗体中的较优个体。

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