规则计算——探索复杂性的有力模式

吴今培



规则计算——探索复杂性的有力模式

吴今培

（五邑大学 智能技术与系统研究所，广东 江门 529020）

自然界中存在着许许多多的复杂系统，这些系统的每一部分的结构可以非常简单，但由于各部分之间存在一定的耦合，最终表现出系统的整体性态极其复杂. 基于规则计算的元胞自动机为模拟自然现象和生命现象提供了新的思路和方法，成为探索复杂系统的一种有力模式. 论文介绍了规则计算的产生和发展，着重阐述了规则计算的本质，并对自下而上的基于规则的建模方法中存在的一些问题进行了总结与展望.

规则计算；复杂性；元胞自动机

进入21世纪，人类究竟以什么样的世界观和方法论观察世界、认识世界和改造世界呢？英国著名科学家霍金（S.Hahing）认为：21世纪是复杂性的世纪. 美国著名科学家、诺尔贝奖获得者考温（G.Cowan）把复杂性科学誉为“21世纪的科学”. 这是因为当代重大的自然问题和社会问题都具有很强的关联性，且日益整体化和复杂化，人们不仅要认识单个因素或单个事物，而且还要从系统整体出发认识和解决复杂系统的问题. 可以说，如今人们在分析社会结构、处理大工业生产、规划国民经济、研究生物和生态的问题时，几乎没有一种复杂事物的研究不在复杂性科学的对象之内. 因此，复杂性探索的兴起，标志着人与社会、人与自然之间的一场新的对话已经开始[1].

1 复杂性探索的两种重要模式

1.1 计算复杂性

任何人的生活、学习和工作都离不开计算，我们遇到实际问题时常常会说需要“算一算”. 数学的诞生就是从实际问题的计算开始的，数学家则更是追求解决问题的一般算法. 从简单的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂的方程求解，定量化的方法已经渗透到各行各业. 在复杂性科学中，计算和算法有着特别的意义.

计算是一个物理的操作运行过程，完成这一过程需要起码的计算时间和计算空间. 所谓计算复杂性是指解决一个问题所耗费的计算机资源的多少，是衡量算法效率的一种指标. 一般地说，计算机解决一个问题的程序需要多少步骤，叫做时间复杂性；需要多少记忆容量或存储量，叫做空间复杂性. 时间复杂性与空间复杂性的存在告诉我们，时间和空间是计算最基本的物理限制因素，计算时间与空间都是有限的，且与人类活动的合理的时间与空间尺度密切相关，如果超出这一合理时空尺度，计算就是不现实的，也是不可能的.

计算复杂性是由算法的复杂性决定的. 判断一个问题是否属于难解的复杂性问题，就是考察问题是否具有算法，其运行时间和所占空间是否超过了合理尺度. 即，计算复杂性把系统的复杂转化为解决一个问题所需耗费的时间或空间的问题：因此，我们可以看出，计算复杂性所研究的问题都是有关算法的问题. 同一个计算问题往往可以用多种不同的算法来求解，对于大量的数据，寻找出最优的算法就可以大量节约计算所需要的时间与空间.

算法是解一类问题的计算方法，传统科学认为计算并不能发现什么新东西，因而计算方法只是一种辅助性的方法. 但是复杂性科学改变了人们的陈旧观念，复杂性的许多现象和规律都是通过计算发现的，复杂性理论的许多分支，例如，元胞自动机、生命游戏、人工生命、复杂适应系统等都是建立在计算或算法的基础上，都是运用计算方法的典型案例：因此，计算方法（或计算模式）是研究复杂性的重要方法.

1.2 复杂性研究的两种计算模式

今天，人们所认识到的复杂性具有两种重要范式. 一种是20世纪科学发展所揭示的用迭代过程和微分方程所描述的简单系统，它因非线性关系而展现出复杂行为，如蝴蝶效应、混沌现象、分形结构等，这是复杂性的一种重要范式. 另一种是世纪之交人们广泛观察到的，由某些简单规则自组织演化而形成的大量复杂系统，例如，技术系统中的互联网、社会系统中的人际关系网、生命系统中的细胞网等，它们受简单规则的驱动而涌现出整体的复杂性. 这可能是复杂性更重要的一种范式. 相应地，描述复杂系统行为的方法也有2种.

1.2.1 数学方程的解析求解方法

自然界的许多复杂现象，它们是完全不同的，但却具有相同的数学形式，通常可以用微分方程表示，求解微分方程，分析解的性质，就能够研究复杂系统的行为. 例如，连续动力系统可采用常微分方程解决复杂问题，并认为复杂性存在于所研究的系统中；混沌动力系统应用非线性常微分方程来描述和解决复杂问题，并认为复杂性存在于所研究的系统中，美国气象学家洛伦茨（E.Lorenz）在天气预报中所发现的混沌就是令人瞩目的一例.

在20世纪五六十年代，人们普遍认为气象系统虽然非常复杂，但仍然是遵循牛顿定律的确定性对象，只要计算机功能强大，天气状况就可以精确预报. 冯·诺伊曼（Von Neumann）所设计的第一代计算机就是以天气模拟为理想任务. 他设想通过使用计算机计算流体运动的方程，人类就可以控制天气. 天气变化是一种特殊的流体运动——对流. 洛伦茨建立了下面这个极其简单的对流模型，一个只有3个方程的一阶微分方程组：

洛伦茨把这个方程组作为大气对流模型，用计算机进行计算，观察这个系统的演化行为. 终于有一天他看到了一个奇异的现象.

1963年冬季的一天，在一次实验中为了更细微地考察结果，他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506 127再输回方程式. 当他喝了杯咖啡以后回来再看，竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离十万八千里！再次实验表明计算机并没有毛病. 洛伦茨发现，由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果. 于是他认定：无论系统初始条件有多么微小的改变，其后运动就会因失之毫厘而谬以千里，变得面目全非. 该现象被称为混沌现象，又形象地称为“蝴蝶效应”.

洛伦茨的模型是一个理想的模型，他把一组对流方程简化到只剩下了骨架，除了非线性之外，几乎什么都没有剩下. 正是由于在系统中包含着非线性因素才产生了混沌，它是非线性系统的固有特性，如非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等.

在实际应用中，面对非结构化、非线性和复杂性等问题，现实世界的许多复杂结构不可能用数学方程来完美表达：要么因复杂系统变数太多无法得到合适的数学方程；要么方程极其复杂而难以求解；要么方程存在无穷多的解，不符合客观实际的要求. 为了弥补解析方法之不足，我们需要寻找新的计算方法. 这就是用计算机去探索和模拟如何从简单的运算规则涌现出惊人复杂行为的方法.

1.2.2 简单规则反复迭代的计算机模拟方法[2-3]

复杂性科学研究表明，最简单的元素、最简单的关系和最简单的规则，在一定条件下反复迭代就可以模拟生命甚至可能穷尽地模拟宇宙已有的一切复杂性和多样性. 也就是说，重复使用简单规则，可能形成极为复杂的行为. 我们可以归结为一个公式：复杂性=简单性+迭代. 这不禁使我们想起中国的围棋和易经. 围棋的规则很简单，变化却很复杂；易经的道理很朴素，但其阴、阳爻的排列组合却无穷无尽、变幻莫测；同样，在人类社会中，个人与个人之间简单的对策，只要重复（迭代的）博弈就会产生各种复杂的社会合作和社会结构.

正如美国科学家史蒂芬（K.Steven）所说，“每当你观察物理和生物方面非常复杂的系统时，你会发现它们的基本组成因素和基本法则非常简单. 复杂性的出现是因为这些简单因素自动地不断地在相互发生作用”[3].

从系统科学的观点看，迭代是什么意思？它说的是，对于某一个事物或一个系统，反复地运用同样的规律来支配它. 而迭代研究的结果表明：这个事物或这个系统即使受一些十分简单的规则支配和决定，也会产生出十分复杂的甚至是混沌而不可预测的结果. 迭代在生命世界中，对应着繁殖；在复杂系统中，扩展到包含经济系统的增长、免疫系统抗体的增加、人脑中某些神经突触的加强以及系统中某种相互联结形式的持续性等等：所以有学者将系统迭代看作与多样性和适应性并列的复杂系统行为相互作用的三大特征之一.

复杂适应系统理论的创始人霍兰德（J. Holland）正是抓住了这一点，他认为：涌现生成过程的关键就是由少数几条简单的规则支配的个体在其大量的相互作用和反复迭代中产生出巨大的复杂性和涌现性、不可预测的新颖性和不可还原的整体性的过程. 据此，霍兰德提出了复杂系统涌现的受约束生成过程的精确描述.

首先，将系统中的适应性个体的功能表达为简单的行为规则，即转换函数：

其次，将个体之间的相互作用表达为界面函数：

以上分析思路是通过建立简单规则，再借助计算机的反复迭代实现对系统演化过程的分析，而不是通过建立系统的精确数学方程式进行解析分析.

2 基于规则计算的离散动态系统分析

2.1 规则计算的内涵

何谓规则计算？

规则计算不是用严格定义的数学方程或函数建立的模型，而是用一系列规则构成的模型. 通过计算机反复地计算极其简单的规则，就可以使之发展成为复杂的模型，并可以解释自然界中的绝大多数现象.

规则计算的基本观点：自然界和人类社会许多复杂结构、复杂现象和复杂过程，归根结底只是由大量基本组成元素的简单相互作用所引起，我们可能仅仅用一些简单模型（或单纯的程序代码）就可以模拟.

大家都观察过一群大雁在空中展翅飞舞，它们会时聚时散，一会儿排成个“一”字，一会儿排成个“人”字. 大雁的飞行显然是一种有序行为，然而这种秩序是从哪里来的呢？一种解释是，秩序来源于某只领头大雁的命令和协调，领导者可以通过直接对其他大雁发号施令让整个群体具有优美的秩序排列；也有人认为，自然进化使得每只大雁的头脑中都预存了整个大雁飞行队列的姿态. 事实上，非线性科学的研究结果告诉我们，原因在于每只飞行的大雁都遵循3条简单的行动规则：1）分隔，尽量避免与邻近伙伴碰撞；2）匹配，尽量与邻近伙伴的平均方向一致；3）吸引，尽量朝邻近伙伴的中心移动. 正是在这种简单规则的共同制约下，大雁之间的相互作用导致了群体秩序和谐的自然出现. 这一过程在复杂性科学中叫涌现（Emergence）.

自然界中，这样的例子比比皆是：鱼群能快速地进行有序的大规模迁徙，蚂蚁遵循一些非常简单的规则就能发现最优的通向食物的路径，一群萤火虫能够节奏一致地进行闪烁. 这类系统一般都由大量数目的个体组成，但是个体本身却非常简单，它们没有中央控制器，没有监督者，只具有检测局部信息的能力，信息的获取和交换也只是在部分个体之间进行，而且可能是动态变化的；但是就是基于这些局部信息的简单作用或控制却能产生一些人们所期望的宏观行为. 这怎么可能呢？这就是自然界中自组织的力量.

由简单性而导致的复杂性涌现的奇异现象，似乎暗示着自然界的一种内在运行过程，即使是最复杂的事物，它也是从最简单的单元、最简单的规则中演化出来的. 复杂性正是通过大量简单元素在简单的行为规则支配下反复迭代而形成的.

2.2 规则计算模型[4-5]

复杂系统通常是由许多同类型的并且相对简单的部分或元素组成的. 部分和元素的行为通常易于理解，而整体或系统的行为则难于做简单的解释，而且从部分行为的理解中不可预测整体的系统行为. 这意味着，对于整体的复杂行为没有一个明确的总体算法，更难建立一个整体的数学方程. 为什么会是这样的呢？复杂性是怎样形成的呢？过去我们对于这个问题没有很好的解释. 直到20世纪50年代，计算机之父冯·诺依曼提出一个没有固定的数学公式的模型，即元胞自动机（Cellular Automata，CA），并给出了最简单和最标准的案例，才清楚地说明复杂性和复杂性行为是怎样从元素的简单性中产生出来和发展起来的.

我们假定系统的组成元素是完全简单的，用规则模型来表述这种简单性并用计算机模拟这种简单性，看复杂性怎样由此而形成. 现在我们有了一抽象的计算系统，它在时间上和空间上都是离散的，其元素的状态及支配这些状态的规则在计算上是极为简单的，但由此组成的总体模式和构型却可以模拟现实世界的全部复杂性. 这样，我们就可以借助这种工具对复杂性的形成及其行为进行离散动力学的分析.

我们主要在一维元胞自动机上进行分析，讨论下面几个问题.

2.2.1 CA的基本组成

可见，CA是一个由大量的简单元件、简单链接、简单规则、有限状态和局域作用所组成的信息处理系统. 但是，它可以模拟世界的绝大多数复杂现象，所以在理论上和实用上的潜力都是非常巨大的.

图1 元胞自动机构成

图2 一维元胞自动机工作原理

2.2.2 CA的工作原理

图3 初等元胞自动机可能的8种输入状态组合

图4 初等元胞自动机可能的输出状态

图5 沃尔夫勒姆110号规则

沃尔夫勒姆认为规则110号元胞自动机是普适的，等价于一台普适图灵机（Universal Turing Machine）. 通过110号元胞机可以实现从简单的规则和简单的初始条件产生出复杂的图形模式. 图6给出了该元胞自动机经过150个时间步和700个时间步的演化情况. 可以看到，得到的演化图案中规律性与随机性相互融合在一起：既不是完全规则的，也不是完全随机的.

图6 110号规则在多个时间步内的演化情况

沃尔夫勒姆利用计算机对初等元胞自动机的256种规则做了非常详尽的研究，在大量数值模拟实验的基础上，他将所有元胞自动机的动力学行为归纳为如下4类.

1）平稳型：只生成简单重复的图案，比如全黑、全反或黑白相间的图形等. 它相当于在系统动力学中，向着一个固定点吸引子演化.

2）周期型：产生一系列周期图案，元胞自动机演化至持续循环状态. 它相当于在系统动力学中，向着极限环演化.

①实施生态工程建设与管理离不开联邦政府的大力支持。针对生态问题范围广、难度大、所需经费多的现实，虽然佛罗里达州政府全力支持水资源管理局为环境修复所做的各项努力，但两者的力量仍远远不够，联邦政府的支持成了解决问题的关键。

3）混沌型：产生非周期图案，或自相似的分形图案，具有明显的随机性，就像不正常的电视频道不断发出干扰的雪花那样，元胞自动机演化到混沌状态. 它相当于在系统动力学中，向着奇异吸引子演化.

4）复杂型：产生复杂图案，元胞自动机会演化成一种有序与随机相结合的结构，可以与生命系统等复杂系统中的自组织现象相比拟，如110规则. 它相当于在系统动力学中，向着“混沌边缘”演化. 系统的行为既不是完全随机的，也不是完全有序的，这是复杂性的基本特性.

沃尔夫勒姆认为，几乎所有的元胞自动机的动力学行为都可归结成数量如此之少的四类. 这是一个重大的发现，它反映出这种分类可能具有某种普适性：即使系统的内在规则非常简单，初始状态也非常简单，系统也可能展现出非常复杂的行为. 据此，沃尔夫勒姆认为：这一基本现象最终和我们在自然界中看到的绝大多数复杂现象是密切相关的.

沃尔夫勒姆对元胞自动机的研究，始终贯穿着一条主线，那就是：宇宙的一切过程都仅仅遵循非常简单的运算，而且这个运算很可能就是规则110号元胞自动机. 他认为，自然界的现象虽然千奇百怪，但大多数复杂现象都是由一些内在的简单规则决定的；如果让计算机反复迭代极其简单的规则，那么就可以使之发展成为异常复杂的模型，并可以解释自然界中的绝大多数的复杂现象.

2.2.3 CA的特征

CA的特点是空间、时间、状态都是离散的，每个元胞只取有限多个状态，状态更新的规则是局部且同步进行的.

1）空间离散：各元胞分散在按一定规则划分的离散的网格点上，元胞的状态变化都由确定性规则表示，元胞的分布方式相合，大小形状相合，空间分布规则整齐.

4）并行性：若将元胞自动机的状态变化看成是数据处理，则元胞自动机的处理是同步进行的，特别适合于并行运算.

2.2.4 CA的优点

1）CA适合于非结构化问题的信息处理和系统建模.

2）CA在模拟仿真中没有误差积累.

3）CA不需要预先离散化.

4）CA是并行操作.

5）元胞相互作用的局域性.

总之，CA在科学方法论上提供了一种新范式：利用简单的、局部规则的、离散的方法，去描述复杂的、全局的、连续的系统. 所以，CA在信息系统科学及许多相关领域产生了巨大影响，得到了极其广泛的应用，几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域.

但是，在实际应用中，用好元胞自动机的关键是元胞规则的确定，可以认为，元胞的演化规则是元胞自动机的灵魂，一个元胞自动机模型是否成功，关键在于规则设计的是否合理，能否客观地反映真实系统内在的本质特征. 如果遇到规则难以确定的情形，可以试验几种规则，以观察系统的宏观演化结果是否与真实过程一致.

让我们来看一个通俗的例子，教师为了提高教学质量，对课堂教学可以确定规则. 有一位特级教师定下了“三不教”原则：1）凡学生自己看书能懂，不教；2）凡看书不懂但自己想想能够弄懂，也不教；3）自己想想也不懂但经过学生之间讨论能够弄懂，也不教. 这实际上是为教与学的关系定下了三条规则，最终能导致学生自学成才能力的显著增强. 长期的教学实践实际上传下了许多成文或不成文的规则，我们不妨从新的视角反思这些规则，并尝试调整修改既定规则或者打破常规另立规则.

在涌现中应强调激发自组织方法的重要性，涌现带给管理者的启示是：可以确定规则，期待涌现；也可以修改甚至重建规则，促成“涌现”.

2.3 规则计算（或迭代）蕴含的科学思想

2.3.1 重复使用简单规则，可能形成极为复杂的行为或图形

一维非线性函数的迭代导致混沌是一个熟知的例子. 一个一维迭代：

2.3.2 采用由底向上的建模方法，可能得到一个逼真的复杂系统仿真模型⑤

对于简单系统，人们认为其组成元素是静止的、被动的、没有演化的，这样的系统不会涌现出新的质并形成新的有序结构. 但复杂系统具有涌现性、动态性、自适应性、不可预测性等特征，面对这样的系统，人们应该如何进行分析与研究呢？首先，我们应该把系统的组成元素理解为“活”的个体，只有具有适应能力的个体才是宏观系统发展、演化的原动力. 例如，生物组织中的细胞、股市中的股民、城市交通系统中的司机、生态系统中的动植物……，这些个体都可以根据自身所处的环境和接收的信息，通过自己的规则进行自适应的判断或决策. 我们利用计算机仿真的方法模拟复杂系统中个体的行为，让一群这样的个体在计算所营造的虚拟环境中进行相互作用并演化，从而让整体系统的复杂性行为自下而上地涌现出来.

2.3.3 规则计算扩展了计算的概念和方法，成为复杂系统研究的重要工具

为了探索自然与社会的复杂性，科学家们从不同的角度、用不同的方法建立了各种复杂系统模型. 用数学解析方法所建立的微分方程模型，其时间和状态都是连续的，这是建立在时空连续的哲学认识基础上的，一大批重要的科学规律就是利用微分方程来推理和表达的. 由于现代计算机建立在离散的基础上，微分方程在计算时不得不对自身进行时空离散化，建立差分方程；或者展开成幂系列方程，截取部分展开式；或者采用某种转换用离散结构来表示连续变量. 这个改造过程不仅是繁杂的，而且失去了微分方程最重要的特性——精确性和连续性. 从实际系统抽取规则所建立的模型，其时间、状态都是离散的，不需要预先离散化，很适合于计算机建模与模拟. 霍兰德在评价计算机模型时说：“计算机模型同时具有抽象和具体两个特性. 这些模型的定义是抽象的，同数学模型一样，是用一些数字、数字之间的联系以及数字随时间的变化来定义的. 同时，这些数字被确切地‘写进’计算机的寄存器中，而不只是象征性地表现出来. ……我们能够得到这些具体的记录，这些记录非常接近在实验室中认真执行操作所得到的实验记录. 这样以来，计算机模型同时具备了理论和实验的特征.”正因为计算机模型具有这样的特点，所以他认为，计算机模型是“一种对涌现进行科学研究的主要工具”. 复杂性科学中的许多模型，例如霍兰德的涌现模型、康威（J. H. Gonway）的“生命游戏”模型，兰顿（C. Langton）的“人工生命”模型等都是规则计算模型，都需要在计算机中模拟实现，都是超越解析方法而建立的一些新模型. 在现代计算机的计算环境下，基于规则迭代的离散计算方式在求解方面，尤其是复杂的动态系统模拟方面有更大的优势.

3 对两种计算模式的述评

3.1 历史见解[2-3]

大家知道，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学. 相应地，数学最基本的问题大体上有两类，一类是求解，一类是求证. 求解就是算法构造与计算，求证就是逻辑推理与演绎证明. 二者对人类精密思维的发展不可或缺. 对“计算”大家更容易感受，因为它是人们从事科学研究和工程设计时的基本活动，可以说，在人类的生活和工作中无处不在.

人类文明的进步充分印证了，数学能以其不可比拟的、无法替代的语言（概念、公式、定理、算法、模型等）对科学的现象和规律进行精确而简洁的描述. 正如大科学伽利略的一句名言：大自然这本书是用数学语言写成的.

但是，科学进步是那么迅速，到了20世纪中叶，几乎所有简单的问题都有了答案. 广义相对论和量子力学解释了宇宙在大尺度与小尺度中的运行机制；对核酸分子DNA的结构以及它们在遗传复制机制中的了解，使得生命现象可以在分子层次（比细胞更微观的层次）上简单地被解释. 当简单的问题被解答了，很自然地，科学家就会试图挑战更复杂的问题. 数学作为人类探索未知自然规律的重要研究方法同样面临复杂性的挑战. 我们知道，自然演化遵循着一种奇妙的规律，这一规律截然不同于人类自己发明的数学解析方法. 例如，人体36.8 ℃的恒定体温是至关重要的，0.5 ℃的偏差足以使人产生病态，那么在0～100 ℃这样大的范围内，人体是如何求出如此精确的最佳体温的呢？这绝对不是梯度下降等解析方法能算出的，而我们也相信目前的解析方法远远无法完整描述体温、人体结构与环境间错综复杂的关系.

为了弥补解析方法的不足，科学家们需要扩充计算的概念，关键是建立一种新的计算模式来扩展但不是取代以数学方程式为主的解析方法.

3.2 现代见解[4]

长期以来，算法和计算等概念一直与人类认识客观世界的活动相联系. 今天，计算搭上了计算机这条顺风船，将其概念和方法泛化到自然界，广泛渗透到宇宙学、物理学、生物学乃至经济学和社会学等诸多领域. 计算不仅成为人们认识自然、生命、思维和社会的一种普适的观念和方法，而且成为一种新的世界观. 整个世界都是由算法控制并按算法所规定的规则演化的，宇宙是一部巨型的计算装置，任何自然事件都是在自然规律作用下的计算过程，现实世界事物的多样性只不过是算法的复杂程度的不同的外部表现. 整个世界的演化：从虚无到存在，从非生命到生命，从感觉到思维，实际上都是一个计算复杂性不断增加的过程. 生命的本质是计算，自然事件的本质也是计算，这就是20世纪80年代以来国际学术界逐步形成的关于计算的现代观点或见解. 历史进入21世纪，美国物理学家、数学家和计算机专家沃尔夫勒姆花费10年心血于2002年出版了一部1280页的宏篇巨著《一种新科学》（），提出了复杂行为和现象源于简单规则的观点. 在这部著作中，他以惊人之语开始：“三个世纪以前，人们发现建立在数学方程基础上的规律能够用于对自然界的描述，伴随着这种新观念，科学发生了转变. 在此书中我的目的是将要用简单的电脑程序来表达更为一般类型的规律，并在此规律基础上建立一种新的科学，从而启动另一场科学变革”. 作者在这里所指的三个世纪前那场发生在科学上的转变就是我们常说的“科学革命”，那场革命从哥白尼发表《天体运行论》为开端，到牛顿出版《自然哲学的数学原理》达到高潮. 沃尔夫勒姆认为“传统科学”未能建立解释宇宙复杂性的理论，靠数学方程做不到这一点，所以他要发动一场新的“科学革命”，革命的内容就是要用简单的电脑程序取代数学方程. 沃尔夫勒姆所钟情的这种简单的电脑程序的核心就是元胞自动机. 沃尔夫勒姆认为，所有过程无论是由人力产生的还是自然界中自发的，都可以视作一种计算过程. 在他看来，从山顶滚下的岩石是一种计算过程，在角落里静静地生锈的一桶铁钉也是一种计算过程，……. 时间和空间由离散的最小单元构成，就如元胞自动机的元胞，宇宙间的一切变化只是元胞之间的信号传递. 按照他的“计算等价原理”，宇宙就是一台普适元胞自动机. 显然，沃尔夫勒姆对元胞自动机所开展的一系列研究，更加强有力地支持了关于现代计算的观点或见解.

3.3 辩证见解[2]

沃尔夫勒姆在大量的数值模拟和理论分析基础上，把元胞自动机与周围的真实世界联系起来，例如：弹子球、纸牌游戏、布朗运动、三体问题等等当中的随机性都可以用元胞自动机来解释；流体的湍流、晶体生长的规律、华尔街股票的涨落也都可以用元胞自动机来模拟；还有自然界中的树木、树叶、贝壳、雪花以及几乎所有东西的形状，元胞自动机都能生成与它们一模一样的图案和形态，并能解释这些东西的形状为什么会是那个样子. 沃尔夫勒姆甚至认为凡解析计算能做的事情，规则计算也都能做. 于是他大胆预言：50年内，更多的技术，将基于我的科学而不是传统科学被创造出来. 人们在学习代数之前将先学元胞自动机理论. 沃尔夫勒姆的观点引起了国际学术界的激烈争论与质疑.

其实，对于复杂系统模型的描述存在两种方法：一种是建立精确的数学方程的演绎方法；一种是通过计算机反复迭代简单规则的归纳方法. 元胞自动机是通过反复计算单纯的程序代码，可以说是归纳方法得到的结果. 演绎与归纳，是人类认识世界的两种基本方法，它们相互支持，相互补充，不存在谁取代谁的问题.

人的认识一般是从研究个别对象开始的，从大量事实出发总结出一般规律. 例如，我们看到铜受热体积会增大、铝受热体积会增大、铁受热体积也会增大，……，便形成一种看法：所有金属受热之后，体积都会膨胀. 这就是归纳推理的方法. 归纳法广泛应用于自然科学的研究，特别是物理学的研究. 科学家总是从有限次实验与观察中作出关于无穷多对象的判断，即由个别到一般（或普遍），结果却常常是对的. 沃尔夫勒姆把元胞自动机应用于树叶、雪花、贝壳、湍流、弹子球等的模拟，其结果也都是对的，于是得出结论：从大尺度到小尺度几乎所有东西的形态和图案都可以用元胞自动机来模拟；几乎所有达到一定复杂程度的系统都等价于规则110号元胞自动机，也即等价于一台普适图灵机. 沃尔夫勒姆在元胞自动机理论研究中所采用的方法似乎是基于个案得来的，也就是通过归纳推理得到的.

不过，我们不禁要问归纳法得出的结论可靠吗？犹如前面所举金属受热体积会增大的例子，我们并没有对所有种类的金属无一遗漏地进行加热试验，你仅仅试验了全体金属中极小极小的一部分，怎能从这一小部分的性质推出全体金属的性质呢？怎么办呢？这就必须用演绎推理的方法作指导才能作出正确的判断.

演绎方法是从一般到个别的推理，演绎推理是一种必然性推理. 因为推理的前提是一般，推出的结论是个别. 一般中概括个别，凡是一类事物所共同的属性，其中的每一个别事物必然具有，所以从一般中必然能够推出个别. 由此，我们可以这样推理：自然界中，金属受热之后分子之间的凝聚力减弱，分子间距离增大，所以金属体积会膨胀. 这就是演绎推理得出的结论. 又如，自然界中，一切物质都是可分的，基本粒子是自然界中的一种物质，因此，基本粒子是可分的. 在几何学里，只有从公理或公设出发经过演绎推理而证明的命题才被认为是真理. 公理或公设（如：“一条有限直线可以不断延长”、“等量加等量和相等”等）都是人们根据长期实践经验而认为无需证明的基本事实. 从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理，这就是演绎推理的逻辑思维模式. 在数学王国里只承认演绎推理，认为由观察得到的知识还不是真理，个别例子再多也没有用，必须依靠演绎得出的结论才是必然的、普遍的.

为了获得知识，认识真理，究竟应该用什么方法？归纳，还是演绎？这是西方哲学史上有过激烈争论的课题. 两种观点展开了长期的反复的争论，其结果是双方观点相互补充，逐渐接近：归纳与演绎是对立的统一. 归纳法重视感性认识，以科学实验、经验事实为基础，是切实可靠的获得知识的方法；演绎法重视理性认识，能揭示出事物的内在联系，使我们看到现象背后的本质，增加了认识的深度. 归纳与演绎是获得真理的两种方法，它们既有区别又联系密切，相互依赖，相互补充，使我们的认识越来越接近真理.

传统数学方程（如微分方程）是演绎推导出来的，其优势是：理论完备、严密、精确. 元胞自动机是一种时空离散的数学模型，借助计算机进行计算，非常自然而合理，但是，满足特定目的的构型尚无完备的理论支持，其构造往往是一个直觉过程. 微分方程和元胞自动机所对应的计算模式：解析求解与规则迭代是一对相对的计算方法. 相对的并不一定是矛盾的，有可能是相互补充和相互完善的. 二者互有优缺点，都有其存在的理由. 面对自然和社会的复杂性问题，人们建立的两种科学描述体系和计算模式，它们的基础不同、内容不同、方法和形式不同，但它们是平等的伴侣，同样重要，同样有用，都是复杂系统研究的有力工具. 不过，在现代计算机环境下，对于元胞自动机这一类相对处于年幼阶段的离散计算方式，它在理论上和实用上的潜力都是非常巨大的，需要给予更多的关注和支持.

4 结语

规则计算模型是一个众多元素在简单规则作用下，形成的各种各样复杂系统的模型. 其中，元胞自动机从根本上开辟了一种不同于传统信息系统的处理思想和方法，为解决现实世界中具有非线性、不确定性和非结构化的复杂性问题提供了一条崭新的途径；所以，元胞自动机思想在许多领域的应用中有着传统算法思想所无法比拟的优势.

[1] 戴汝为. 社会智能科学[M]. 上海：上海交通大学出版社，2007.

[2] 吴今培，李学伟. 系统科学发展概论[M]. 北京：清华大学出版社，2010.

[3] 颜泽贤，范冬萍，张华夏. 系统科学导论：复杂性探索[M]. 北京：人民出版社，2006.

[4] 甘涛. 元胞自动机与现代科学中的计算主义[M]. 北京：中国人民大学出版社，2005.

[5] WOLFRAM S. A new kind of science[M]. Champaign Illinois: Wolfarm Media, 2002.

①参见http://www.wolfram.com/.

②John Horton Gonway. http://ibiblio.org/lifepatterns.

③ Christopher Langtom. http://zooland.alife.org.

④Complexity Digest.http://www.csu.edu.au/ci/.

⑤Journal of Complexity. http://www.academicpress.com/jcomp/.

Rule Calculation—Powerful Patterns in Complexity Exploration

WUJin-pei

(Institute of Intelligence Technology and Systems, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

There are many complex systems in nature. The structure of their components may be quite simple; however, they can display very rich and complex global behaviors since there are local interactions between the components. The cellular automata based on rule calculation provide a new perspective to simulating various natural and life phenomena. It is a powerful pattern in studying complex systems. This article introduces its generation and development, expounds the essence of the calculation of rules, and summarizes some questions in the modeling method based on rules and predicts its prospects.

rule calculation; complexity; cellular automata

1006-7302（2011）04-0001-13

N941.4

A

2011-07-20

吴今培（1937—），男，江西吉安人，教授，中南大学、北京航空航天大学博士生导师，研究方向为系统理论与复杂性研究等.