一种基于平面精度的机器人标定方法及仿真

董慧颖 李文广

1.沈阳理工大学，沈阳，110159 2.山东省机器人与制造自动化技术重点实验室，济南，250014

0 引言

在进行离线编程时，需要标定仿真机器人模型与实际机器人本体间的误差，机器人一般有较好的重复定位特性，但是其绝对定位精度并不高。因此，很长一段时间以来人们一直采用“录播”的方式来让机器人工作，忽略了它的绝对定位精度。标定的目的就是要调整机器人关节零位偏差与末端位姿间的关系，提高其绝对定位精度。一个机器人的标定任务分为运动学模型建立、位姿测量、参数辨识和误差补偿4个基本步骤。

1 运动学建模

运动学模型是决定机器人精度的一个很重要因素，它必须能够描述所有影响机器人末端位姿的因素。目前，应用最为广泛的机器人运动学模型是D－H模型。对任意两邻接连杆，该模型有图1所示坐标关系，图中4个D－H参数分别是连杆长度ai、连杆偏转∂i、连杆偏移di、关节角度θi。刘宇等[1]在对空间机器人位姿精度的研究中采用了D－H建模方法，并采用极大似然算法对机器人的连杆参数进行了辨识，实验结果表明，位姿精度提高了3倍多。

图1 D－H模型

Lim等[2]提出了一种能同时标定机器人运动学参数误差及弹性形变误差的算法，并针对实时应用编写了相应的Windows应用程序，模型描述的误差因子越全面，则机器人控制驱动器的位姿就越接近实际的机器人位姿，末端误差可以减小到1mm以内。Radkhah等[3]提出了一种新颖的问题建模方法，并用于自标定，该方法基于正向运动学方法，整合了几何与非几何误差参数，最终将机器人末端精度从7×10－3～2×10－2mm提高到了1×10－9～1×10－4mm。冯涛等[4]对穿刺机器人采用指数积方法建立机器人运动学模型，然后导出只需位置量的线性误差模型，并设计了简便有效的末端位置标定方案，从而避免了D－H建模方式的奇异问题，将误差量减小了50%。Lou等[5]解释了原始指数积标定因关节偏移而总失败的原因，并提出了一种修正的指数积建模方法，设计了更为简易实用的末端单点测量法。

2 位姿测量

测量是机器人标定过程的关键步骤。最初的机器人标定都是基于开环机器人运动学链的。基于开环运动学链的机器人在标定过程中，位姿测量是必不可少的步骤，测量结果的精度直接关系到标定精度。然而，机器人末端位姿的高精度测量是比较困难的，尤其是姿态的测量，因此，目前很多的标定方法都是基于位置精度的。叶声华等[6]采用激光跟踪仪作为测量工具，对机器人运动学参数进行标定，通过建立工业机器人模型，测量获取关节变量与末端法兰盘中心位置在基坐标系下的准确映射关系，共标定25个几何参数，标定后的平均误差和均方根误差改善40%以上。Ji等[7]采用三坐标测量仪作为测量工具，提出了一种对操作机进行标定的位姿测量方法，并将该方法用于并联机器人，经试验，标定后精度有了明显的提高。Lee等[8]采用室内全局定位系统（IGPS）作为测量手段，对工业六自由度弧焊操作机完成了运动学参数标定，标定后，机器人位置精度提高至0.2mm。为解决机器人位姿难以测量的问题，Bennett等[9]提出了机器人闭环运动学链自动标定方法，指出对闭环机构机器人的标定无须测量机器人末端位姿，仅从关节角度值就可以完成。

本文所采用的基于平面精度的标定方法同样属于闭环标定范畴，以末端限位的方式隐含了闭环条件，同时也继承了部分开环标定方式下的测量成分。

3 参数辨识

使用平面精度标定方法的前提是机器人各关节是可以独立控制的，实际应用中可以通过使用机器人示教盒实现控制。图2中的理想平面是机器人空间一已知法向量的平面，通过示教盒控制机器人各关节，让其在工作空间的平面内运动。

图2 平面误差示意图

在实际的测量过程中，为保证机器人末端手爪位于所选限位平面内，可通过在机器人手爪位置安装探针装置，在机器人运动的过程中，控制机器人手爪与限位平面始终保持同等间距。如果不能完全保证机器人末端的平面运动，在测量数据充足的条件下，个别测量失误对误差的辨识影响不大。

在控制机器人平面运动的同时，通过关节驱动控制器记录平面上每点处的关节角度值。由所记录的关节角度数据经各关节连杆传递后得到理想机器人坐标系下的实际平面，也就是图2中倾斜的平面，则评价方程如下：

其中，ri是所测量平面上的第i个点的位置量，m是所测量的点的个数，n是平面的单位法向量，d是原点到所测量平面的距离，ρ是包含所有需要标定的参数的向量，θ是所测量的关节角向量。不同于其他使用外部测量工具的测量方法，这里ri是通过正向运动学基于参数ρ计算出来的位置量。

基于上述分析，将标定问题简化为评价方程式（1）最小的优化问题。

使用该方法的几个前提假设：机器人末端能够在空间平面内运动；关节驱动器能够记录对应平面上每点处机器人的关节角度值；整个系统的测量点数要足够求解出所有的误差参数。

假定参考坐标空间一已知位姿的平面，让机器人末端在该平面运动，对应平面上的每点，测量方程满足：

其中，ρ0＝[ρ′ α P]，ρ0是机器人扩展参数向量，P和α表示机器人基坐标系的位姿向量，ρ′是机器人的运动学参数向量。由于ρ′存在误差量，但该误差量相对于机器人的名义参数值来说是十分微小的，故可将式（2）泰勒展开，只保留一阶项得

其中，J（ρ0，θi）为该系统的雅可比矩阵，该雅可比矩阵是对应机器人末端位置的分量矩阵，即机器人末端位置量对各个误差量的微分。

根据式（3），将该平面上的m个点描述成：

然后就可以应用最小二乘法求解误差量dρ′：

4 误差补偿及雅可比矩阵分析

将式（7）所求得的误差参数dρ′用于更新机器人的名义参数值，并将该值作为修正后的机器人参数。

线性误差可以通过迭代参数辨识算法使得误差dρ′变得足够小或小于某一预先定义的参数。算法每次迭代后的参数值可表示如下：

雅可比矩阵是从关节速度到笛卡尔速度的转换矩阵。雅可比矩阵中又包括位置速度雅可比和姿态速度雅可比项，本文使用位置速度雅可比项来描述机器人末端在相应关节角度下的速度矩阵。

旋转关节对末端的影响如图3所示，由于关节转动而在末端产生的位移速度为

式中，Zi－1为索引i－1的Z轴方向向量为操作机末端在i－1坐标系下的位置向量。

图3 旋转关节对末端的影响

沿X、Z方向的平移误差量在操作机末端产生的位移速度分别是各轴坐标系在基坐标系下的旋转矩阵[n′ o a]对应的n′、a向量。

因此对应线性独立的误差分量，可以得到其雅可比矩阵：

式中，d为原点到末端的矢量。

5 仿真实验

实验中使用Peter Corke的机器人工具箱建立两连杆机器人模型，如图4所示，其连杆参数如表1所示。

图4 两连杆机器人模型

表1 机器人D－H参数

由于单个平面标定出的数据可能会导致所标定的数据仅在某个平面内有效，同时由于机器人的工作空间是某一有限空间，故我们在限定机器人的平面运动时，给出表2所示的有效约束平面。

表2 标定平面

由于光电编码器具有很高的精度，因此关节编码器的读数一般认为是精确的。任何的关节角度值误差只可能来自于关节偏移，因此，关节偏移被考虑到误差参数中。每个关节连杆的误差参数由θ1、d1、α1、a1、θ2、d2、α2、a2构成。要求解所有误差参数，至少需要测量8组数据。在每个限位平面上选取40个点的数据作为标定数据，这些点随机分布在各个平面上的（0.5×0.4）m2区域内。将测得的数据应用到式（7），便可得出对应各误差的实际值，如表3所示。

表3 误差参数辨识

将表3所示的参数误差附加至机器人的名义参数值中，可得到经误差矫正后的位置值，对比矫正前后的位置，便可评价该算法的有效性。表4所示为标定前后原点到面的距离的均方根误差。

表4 标定前后点到面的距离的均方根误差对比

上述仿真实验表明，基于平面精度的标定方法能够将机器人的绝对定位精度提高50倍。

6 结束语

本文将一种新颖的机器人标定方法用于提高机器人的绝对精度。该方法测量过程简单，标定数据获取容易，有利于普及化。从标定原理可看出，机器人基坐标的校准工作可以省去，简化了标定过程，因而可以缩短机器人线下标定时间。

[1]刘宇，梁斌，强文义，等.基于运动学标定的空间机器人位姿精度的研究[J].机械设计，2007，4（24）：8-12.

[2]Lim Hyun－Kyn，Kim Dong－Hyeok，Kim Sung－Rak，et al.A Practical Approach to Enhance Positioning Accuracy for Industrial Robots [C]／／ICROS－SICE International Joint Conference 2009.Fukuoka，Japan，2009：2268-2274.

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[4]冯涛，杨向东，熊璟，等.穿刺机器人本体标定试验研究[J].机械设计与制造，2010，2（2）：155-158.

[5]Lou Yunjiang，Chen Tieniu，Wu Yuanqing，et al.Improved and Modified Geometric Formulation of POE Based Kinematic Calibration of Serial Robots[C]／／The 2009IEEE／RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.St.Louis，MD，2009：5261-5267.

[6]叶声华，王一，任永杰，等.基于激光跟踪仪的机器人运动学参数标定方法[J].天津大学学报，2007，40（2）：202-206.

[7]Ji Junhong，Sun Lining，Yu Lingtao.A New Pose Measuring and Kinematics Calibrating Method for Manipulators[C]／／2007IEEE International Conference on Robotics and Automation.Roma，2007：4925-4931.

[8]Lee Min－su，Kang Dong－soo，Cho Young－suk，et al.The Effective Kinematic Calibration Method of Industrial Manipulators Using IGPS [C]／／ICROS－SICE International Joint Conference 2009.Fukuoka，Japan，2009：5059-5063.

[9]Bennett D J，Hollerbach J M.Autonomous Calibration of Single－loop Closed Kinematic Chains Formed by Manipulators with Passive Joints[J].IEEE Transactions on Robotics ＆ Automation，1991，7（5）：597-606.