一阶常微分方程组初值问题解的实例研究

王锐利

(河南济源职业技术学院，河南济源454650)

一阶常微分方程组初值问题解的实例研究

王锐利

(河南济源职业技术学院，河南济源454650)

文章对一阶常微分方程组初值问题解的唯一性进行了探讨，并给出了相应的实例加以比较研究，以加深对一阶常微分方程组存在唯一性定理的理解和应用.

一阶常微分方程组;初值问题;解的唯一性

常微分方程初值问题解的研究在实际工程中经常遇到，研究常微分方程初值问题的解其本身也具有很大的研究价值.［1－6］

1 预备知识

定理1［7］若方程

1)连续;

2)关于Y满足利普希茨条件，即存在N＞0，使对于R上任意两点(x，Y1)，(x，Y2)有‖F(x，Y1)-F(x，Y2)‖≤N‖Y1-Y2‖，则上述方程在区间上存在唯一解:Y=Y(x)，Y(x0)=Y0.这里

贝尔曼引理［7］设y(x)为区间［a，b］上的连续函数，a≤x0≤b，若存在δ≥0，k≥0使得y(x)满足

不等式

则y(x)满足不等式y(x)≤δek(x-x0)，x∈［a，b］.

2 主要结果及证明

利普希茨条件下的几种证明:

方法一 设r(x)=‖Y1(x)-Y2(x)‖，所要证明的是r(x)≡0，x∈［x0-h0，x0+h0］.假设结论不成立，则有x1:x0-h0≤x1≤x0+h0，使得r(x1)＞0，因为Y1(x)，Y2(x)都是(1)的解，故x1≠x0;不妨设x1＞x0，以S表示x0≤x≤x1上所有使r(x)=0的x值集合.因为x0∈S，故S≠∅.设其上确界为α，由r(x)的连续性知必有r(α)=0，又由于α是S的上确界，而r(x1)＞0，故r(x)＞0，x∈(α，x1)，在(α，x1)上Y1(x)-Y2(x)不变号，故必可对r(x)求导，所以有

从x∈(α，x1)到x1积分上式便有

方法三 不妨设问题的解Y1(x)与Y2(x)在区间［x0，x0+h0］上不恒等，则

解 设方程的解在区间［α1，β1］上存在，x0∈［α1，β1］⊂(α，β).则其中，因为

从而右端函数满足利普希茨条件，再由解的延展定理知方程的解在(α，β)存在.

假设结论不成立，则有x1:x0-h0≤x1≤x0+h0，使得r(x1)＞0，因为y1(x)，y2(x)都是方程的解，故x1≠x0;不妨设x1＞x0，以S表示x0≤x≤x1上所有使r(x)=0的x值集合.因为x0∈S，故S≠∅.设其上确界为α，由r(x)的连续性知必有r(α)=0，又由于α是S的上确界，而r(x1)＞0，故……