关于函数的单叶性及判别函数单叶性的几种方法

阿布力米提·米吉提

(伊犁师范学院 数学系，新疆 伊宁 835000)

1 预备定义和定理

1.1 关于几何函数论与单叶函数

几何函数论(也称复变函数几何理论)，它的理论和方法不但可以用来解决微分方程、解析数论、微分几何、拓扑学等许多数学分支提出的问题，而且更为普遍地应用于自然科学的诸多领域[1-2].单叶函数是几何函数论的重要内容之一.

定义1 设D={z;|z|<1}表示单位圆盘，函数f(z)是在区域D全纯.

定理1 若f(z)在z=z0全纯，且f′(z0)≠0，则存在δ>0，f(z)在|z-z0|<δ单叶.

1.2 关于从属理论与从属原理

从属理论是几何函数论中的一个重要部分，应用它研究单叶函数的各种几何性质是很方便的[3-4].再说，一方面从属原理本身就有交明确的几何性质.另一方面，从属原理最大的优势就是把两个全纯的函数通过一个特殊的全纯函数有机地联系在一起.这个特殊函数是区域D中全纯且影射D到自身、原点对应原点的函数的全体所组成的函数族.

也就是，记:H(D)={f(z);/f(z)在D中全纯}，B={φ(z);/φ(z)∈H(D)且|φ(z)|<1}，

P={P(z);/P(z)∈H(D),ReP(z)>0}.

定义2 设f(z)∈H(D),g(z)∈H(D)，若存在φ(z)∈B,且φ(0)=0,使f(z)=g(φ(z))，称f(z)在区域D从属于g(z,)记为f(z)g(z).

若f(z)g(z)，有φ(D)⊂D,φ(0)=0,从而由从属的定义推出f(D)⊂g(D),且f(0)=g(0).

定理2 设g(z)在D中单叶，则f(z)g(z)当且仅当f(0)=g(0)且f(D)⊂g(D).

证明“⟹” 由于f(z)g(z)，有φ(D)⊂D,φ(0)=0,从而由从属的定义推出f(D)⊂g(D),且f(0)=g(0).

“⟸” 由于g(z)在D中单叶的，故g-1(w)在g(D)中全纯且单叶，若f(D)⊂g(D)，则令g(z)=g-1(f(z))∈B，且由f(0)=g(0)得到φ(0)=0,显然对这样的g(z)有f(z)=g(φ(z)).证毕.

关于核函数与从属链以及变系数线性微分方程组的有关记号、定义及定理见文献[5-8].

2 判断函数f(z)单叶函数的几种方法

定理3 设f(z)在z=z0全纯，且f′(z0)≠0，若:

(1)

则f(z)在D中单叶.

定理4 若f(z)在D全纯函数，且f′(z0)≠0，φ(t)是[0,1]上的可微复值函数，且φ(1)=0,φ(x)-xφ′(x)≠0,x+φ(x)≠0,令|z|=r,若f(z)满足：

(2)

则f(z)是D中的单叶函数.

证明不妨设f(z)=z+a2z2+…，考虑函数:L(z,t)=f(e-tz)+φ(e-t)zf′(e-tz),t≥0，则:

此时：

从而:……