近似到O(μ2)阶完全非线性的Boussinesq水波方程

刘忠波，房克照，2，邹志利

(1.大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116024;2.河海大学 海岸灾害及防护教育部重点实验室，江苏南京210098)

作为近岸海域强有力的波浪数值计算模型之一:Boussinesq类水波方程得到空前的发展［1-11］，当前研究和应用以二阶Boussinesq方程居多，其中以Wei G等［4］给出的以波面和水深某一处速度表达的高阶Boussinesq方程最具代表性，其精确到O(μ2)阶完全非线性.而以水深积分平均速度表达的Boussinesq方程多以弱非线性或近似到O(εμ2)阶非线性为主，即便有近似到O(μ2)阶完全非线性的Boussinesq方程［5］，其在O(μ2)阶非线性项中也部分地忽略了水深对空间坐标的导数.为使得此类Boussinesq方程在近似到O(μ2)阶具有完全非线性的同时具有良好的色散性能，本文从Madsen给出的近似到O(μ2)阶完全非线性Boussinesq方程(其色散性与经典Boussinesq方程一致)出发［1］，对动量方程进行加强，得到一组改进的高阶Boussinesq水波方程.讨论了加强后方程与其他Boussinesq方程之间的异同，从理论和数值2个方面对加强后方程进行考察，对比分析本文加强方式和传统加强方式对数值结果的影响.

1 理论推导

1.1 水波方程的导出

文献［1］从Laplace方程出发，给出了一组近似到O(μ2)完全非线性的Boussinesq水波方程，方程以波面升高η和水深积分平均速度u=(u，v)表达，其二维无因次形式为［1］

其中，

式中:h为静水深，▽=(∂x，∂y)为二维偏微分算子，下标t表示变量对时间的导数.

以上方程色散精度与经典Boussinesq方程一致，为拓展其适用水深，引入:

将式(8)～(10)添加到方程(2)左端，方程可写成如下形式:

式中:G20、G21、G22、G23为O(μ2)阶线性项和……