新课标下不等式例题小析

华晔

在新课标下，随着各种教学模式的展开，教师和学生思维也相应扩展开来。不等式证明作为高考的难点之一，学生对它的掌握总是用“能做出来就可以”的心态，极少人能真正把所学的知识应用开来。下面举一实例：

设x、t∈R，证明： （4- 7）≤ ≤ （4+ 7）。

方法一：令y= ，则有：

（y-1）x2+（ycost-sint）x+（y-1）=0（﹡）

若y=1，即t=kπ+ （k∈Z）或x=0时，原不等式成立；

若y≠1，由（﹡）的判别式得（ycost-sint）2≥4（y-1）2。

又|ycost-sint|=| y2+1cos（t+φ）|≤ y2+1

∴y2+1≥（ycost-sint）2≥4（y-1）2

解y2+1≥4（y-1）2得： （4- 7）≤y≤ （4+ 7）。

方法二（数形结合）：

当x=0时，即 （4- 7）≤1≤ （4+ 7），成立。

当x≠0时，令p=x+ ，m=x+ +sint，n=x+ +cost，

则 = ，（m-p）2+（n-p）2=1

所以（n，m）在以（p，p）为圆心、以1为半径的圆周上， =；

即 表示（n，m）与原点所连直线的斜率。设p=2或-2时，⊙p的过原点的切线方程为y=kx；

则 =1，解得k= 或 。由图易知此时的k值分别为 的最大和最小值。

故 （4- 7）≤ ≤ （4+ 7），

即： （4- 7）≤ ≤ （4+ 7）。

大部分学生容易想到第一种解法，将问题转化为判别式法求函数值域问题，而第二种方法用了数形结合思想，这是学生容易忽略的方法。数形结合思想是中学解题中常用到的一种数学思想方法，并且也是一种重要的教学思想方法。它实现了将代数问题和几何图形联系起来并相互转化。数与形是数学的两块基石，它们既相互独立又相互统一。在平时的教学中，教师应有意识地向学生渗透各种数学思想，以提高学生思维，培养其能力。