关于幂级数求和的探讨

刘华 杨宝珍 景慧丽

【摘要】幂级数求和是无穷级数这一章的重点和难点.本文结合教材中的错例分析了学生的错误及错误原因，并对幂级数求和问题进行了探讨，给出了解决方法.

【关键词】幂级数；和函数；收敛域

【基金项目】第二炮兵工程学院精品课程建设资助项目

幂级数是高等数学课程中非常重要的知识点，而其中有关幂级数求和问题是这部分内容的重点和难点.本文从一个错例（《高等数学》（同济大学第五版））入手，分析了学生的错误及错误原因，然后结合该例探讨幂级数求和的相关问题.

例1 求幂级数А啤轠]n=0x琻[]n+1的和函数（原书例6）.

解 先求收敛域.由limn→∞a璶+1[]a璶=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1.

在端点x=-1处，幂级数成为А啤轠]n=0В-1）琻[]n+1，是收敛的交错级数；

在端点x=1处，幂级数成为А啤轠]n=01[]n+1，是发散的.因此收敛域为I=[-1，1].

设和函数为s（x），即

s（x）=А啤轠]n=0x琻[]n+1，x∈[-1，1）.（1）

于是

xs（x）=А啤轠]n=0x琻+1[]n+1.（2）

利用性质3，逐项求导，并由

1[]1-x=1+x+x2+…+x琻+…，（-1

得

[xs（x）]′=А啤轠]n=0x琻+1[]n+1=А啤轠]n=0x琻=1[]1-x，（|x|<1）.（4）

对上式从0到x积分，得

xs（x）=А要瑇01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）

于是，当x≠0时，有s（x）=-1[]xln（1-x），

而s（0）可由s（0）=a0=1得出，

故

s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），

1，x=0.（6）

一、错误及原因分析

1.忽略幂级数的起始项

例如在求解幂级数А啤轠]n=1x琻的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（x）=1[]1-x，而事实上其和应该为s（x）=x[]1-x.该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1.

2.忽略和函数的定义域

产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻.无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是……