钟表中的数学问题

王洪成

“数学来源于生活，又运用于生活”，当师生们有节奏地度过校园生活的每一天时，是否留意过钟表里的有关数学问题？时间周而复始，时针与分针一圈又一圈不停地旋转，那么它图 1们什么时候重合、成一直线呢？下面就探讨一下这一问题：

图 2钟表表盘上共有12个大格，60个小格（如图1）.分针走1小格

为1分钟，时针走1大格为1小时（即60分钟）.由于时针、分针走1周

均为360度，故1小格为6度，1大格为30度，由此得出分针每分钟走6度，时针每分钟走30°÷60=1[]2°.

一、时针、分针几点几分重合

因为0点时，分针与时针重合，都指向12（如图2），以后分针、

时针再重合，可以把它看成是同时、同地、同方向出发，不同速度的追击问题，即二者下次再重合，分针走过的路程则比时针多1周（即360度）.由此可设x分钟后，时针、分针第一次重合，据题意列方程为：6x-1[]2x=360×1，解得：x=720[]11=655[]11，由于x>60分，即第一次重合时为1点55[]11分钟.时针、分针第二次重合，据题意列方程为：6x-1[]2x=360×2，解得：x=1440[]11=13010[]11，由于x>120分，即第二次重合时为2点1010[]11分钟

……时针、分针第十一次重合，据题意列方程为：6x-1[]2x=360×11，解得：x=720，由于x=720分=12小时，即第十一次重合时为12点整.

由以上得出：

（1）从1点到12点分针与时针共重合了11次.

（2）几点几分分针与时针重合，可由方程6x-1[]2x=360×n（0≤n<12的整数）解出.

二、时针、分针几点几分成一直线

这里分为两种情况：一是时针、分针重合时成一直线（上面已研究）；二是时针、分针夹角为180度时成一直线.

下面来研究第二种情况，对此问题仍从0点开始研究，时针、分针夹角为180度，即分针比时针多走了180度，由此得方程6x-1[]2x=180，解得：x=180[]11=328[]11，即0点328[]11分时第一次成