一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子特征的渐近分析Ⅱ

罗佩芳 黄赞

(1．广东培正学院 计算机科学与工程系，广州 510830;2．华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子特征的渐近分析Ⅱ

罗佩芳1黄赞2

(1．广东培正学院 计算机科学与工程系，广州 510830;2．华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

研究了一类具有转换条件且在一个边界条件中带谱参数的奇异Sturm-Liouville问题．将上述问题的特征值与特征函数的渐近分析，转化为考虑定义在适当的Hilbert空间H中的一个线性算子A的特征值与特征函数的渐近分析．同时，推导出该奇异的Sturm-Liouville算子A的特征值与特征函数的渐近式。

谱参数;转换条件;特征值;特征函数;渐近式

1 预备知识

近十几年来，人们对边界条件中带谱参数的Sturm-Liouville(S-L)问题进行了大量的研究，产生了许多理论成果［1－4］，Huang等［5］研究了一类具有转换条件且在边界条件中带谱参数的奇异S-L算子的基本解的渐近分析。本文中，笔者将考虑一类具有转换条件且在边界条件中带谱参数的奇异S-L算子的特征值与特征函数的渐近式。

设所研究的二阶Sturm-Liouville方程为：

其中，I=［0，c)∪(c，+∞);q(x)∈L1(I，R);λ∈C 是谱参数。边界条件为

带谱参数的边界条件为

其中：y1，y2是方程 －y″+q(x)y=0 的一组线性无关解;［y，yl］(∞)(l=1，2)是 Lagrange双线性型;［y1，y2］(∞)= －1(p=1)。文中，假定S-L问题在奇异的端点+∞点为极限圆型［4－6］，转换条件为

本文中奇异的S-L算子A的生成以及内积的定义见文献［6］。

引理1［7］边值问题(1)－(5)的特征值与算子A的特征值相同，它们的特征函数是算子A相应的特征函数的第一个分量。

引理2［7］线性算子A在H中是自伴的。

引理3［7］边值问题(1)－(5)的特征值等价于整函数w(λ)的零点。……