谱函数的渐近表达式

崔庆岳

(广州城建职业学院 基础部，广州 510925)

谱函数的渐近表达式

崔庆岳

(广州城建职业学院 基础部，广州 510925)

一端奇异Sturm-Liouville方程在满足Neumann边条件下相对应的谱函数的一种渐近表达形式，其中方程在奇异点属于极限点型．

Sturm-Liouville方程;谱函数;渐近表达式;极限点型

1 概述及预备知识

考虑当λ=u()＞0的微分方程

满足初始条件

的解φx，()u，其中参变量q∈L0，()∞。由常数变易法可得方程的解，如下所示

其中u=s2。如文献［1］所示，当q∈L 0，()∞时，存在函数()a u和()b u使得

成立。其中()a u和()b u是与变量x线性无关的函数，并且当x→∞时，Φ x，()u→0。Coddington在文［2］中证明了谱函数可以通过函数 ()a u和 ()b u来表示，即

因此，当u→∞时，确定方程(1)的解φ x，()u的渐近形式，近而求出函数()a u和()b u的表达式，然后再利用上式求得谱函数的渐近表达式。

引理1［3］设()ρ λ为谱函数，λ1，λ2为它的任两个连续点，M()λ为对应的Weyl函数，则

2 谱函数的渐近表达式

一端奇异Sturm-Liouville方程

满足初始条件

其中()q x在区间0，[)∞上为局部可积的实函数，α为实数。

即为方程 (6)的Neumann边条件。

主要讨论一端奇异Sturm-Liouville方程 (6)在满足Neumann边条件下，当参变量q满足一定条件及u→∞时谱函数的一种渐近表达形式，其中方程 (6)在奇异点∞属于极限点型。

首先，讨论当u→∞时函数 ()a u和 ()b u的渐近表达式，近而推得谱函数的渐近形式。

为了将上式展开，下面在区间0，[)∞上引入函数列Bk()x，设B1()x=－1，

其中j≥0，当j为偶数时，δ=0;当j为奇数时，δ=1。［·］表示取其整数部分。并且

由 (10)式和 (11)式可得

其中

由(12)式可得

和

都属于空间L 0，()∞。

由上述引理可知，存在 (17)式和 (18)式的一个序列

使得当x→∞时，上述函数列都可以表示成o()1，则 (10)式有下列表示形式

因此，结合 (11)式和 (14)－(16)式可得