地下储库材料参数概率分布估计研究

高翔贾梦

中图分类号：F626.112

摘要：在岩土工程领域中，由于大量不确定信息的存在，人们对工程安全问题，要充分考虑随机特性的影响。在通过总结以往试验资料、获得大样本(n≥50)数据的情况下,利用各种检验法对样本概率分布型式进行拟合是一种简单、可靠的方法。随着样本容量的增大,可获得更优的概型分布参数,以此概型分布为先验分布,对具体工程的小样本数据,利用Bayes方法进行概型分布参数的优化,达到岩土工程设计参数优化的目的,是可行的.尤其对先验分布是正态分布的情况,该方法计算简单,更具优越性.

关键词：地下储库；材料参数；概率分布

盐岩由于具有孔隙率低、渗透率小、损伤自恢复和塑性变形能力大等优良特性，被认为是石油、天然气地下储备的理想场所。近年来，出于国家能源安全的迫切需求，我国已开始盐岩地下能源储库的选址及建设工作[1]。在进行地下油气储库的可靠性分析时，岩土设计参数的优化确定，对可靠度指标的计算值和精确度有直接影响。而我国的盐岩层一般盐层薄、夹层多，地质条件复杂，岩土参数的试验结果具有相当的离散性，要特别考虑材料随机特性的影响。

在岩土工程领域的可靠性设计中,岩土设计参数的优化确定,对可靠度指标的计算值和精确度有直接影响.而岩土参数的试验结果具有相当的离散性,其离散的原因可大致分为2方面:地基本身的问题和技术方面的问题[1].前者主要来自土体本身所具有的不均匀性,通常是不可避免的;后者则是土样在取样、运输、保管和试验中产生的,要将其完全去除是不可能的.因此,有必要对岩土试验参数进行概率统计分析,对岩土设计参数加以优化确定.已有的岩土参数的概率分布及估值方法大多针对的是小样本数据.随着岩土力学的发展和工程实践的积累,我国大多数地区已具备获得大样本(n≥50)岩土参数的条件,特别对本地区有代表性的地层,数据更多.在此条件下,利用已有资料获得岩土参数的概率分布,对新的具体工程的小样本数据进行优化,为工程设计选取更优的设计参数,具有重要意义. 本文利用工程试验数据，通过极大似然法对岩土材料随机变量分布情况进行参数估计，并以此作为先验信息，以小样本参数的概率分布为似然函数，采用贝叶斯方法对其参数进行优化确定。

1概率分布的拟合方式

极大似然估计法是在变量分布类型已知的情况下使用的一种参数估计方法，能充分利用分布函数对参数所提供的信息。根据已知或假定的分布类型，以样本的概率作为似然函数，再以样本似然函数最大为准则，确定相应的分布参数。对于连续型随机变量，其密度函数为 ， 为参数 所有可能的取值范围，样本的观测值是 ，其似然函数为 ，似然函数的最大值点即为参数的极大似然估计值。岩土工程中常用的分布类型包括：正态分布、对数正态分布和极值I型分布等，如正态分布的极大似然估计值为：

（1）

由此得出极大似然估计值后，可对参数进行假设检验。参数假设检验的主要目的，是对总体分布函数纵的未知参数提出某种假设，然后利用样本提供的信息对所提出的假设进行检验，根据检验的结果对所提出的假设作出拒绝或接受的判断。目前对样本的概率分布函数常用的检验方法有 检验、 检验、 检验和有限比较法等[2]。K-S检验法，是一种使用样本数较少情况下的概率分布类型的检验方法。其基本思想是：检验观测样本 的累积频率 与假设的理论概率分布 之间的差异程度。设观测样本 从小到大排列，样本容量为n，如果

（2）

则接受原假设，否则拒绝接受。式中 是一个随机变量，其分布依赖于n， 为显著水平α的临界值。

2参数优化的Bayes方法[3]

Bayes统计学将未知的参数看作随机变量，认为在获得样本数据前就己存在一个概率分布，称之为验前分布。样本数据下未知参数的条件分布称为验后分布，验后分布是对未知参数进行统计推断的依据。

连续随机变量的Bayes公式

（3）

其中， 为给定参数 之下的 的概率密度函数， 为 的验前密度函数， 为 在给定 之下的条件密度函数， 为参数空间。试验中，如将 看做试验样本，, 就是给定 之下样本的密度函数，称为样本似然函数。 反应了试验之前对 的认识，而 则为试验之后（在获得样本 之后）对 概率分布特性的新的认识，称为验后分布密度函数。Bayes统计推断以 为基础。若假定变量验后分布概型与验前概型一致，且验前分布为正态分布 ,似然函数为 ，则验后概率为 [4]，其中

（4）

（5）

3岩石材料参数概率分布

根据大量的岩石和岩体的物理力学性质参数的试验资料可知，容重、弹性模量、抗剪强度、内摩擦角以及粘聚力等参数的统计特征可以用正态分布曲线来近似描述。以某盐岩地下储库为例，盐层段岩性主要为盐岩、含泥盐岩和泥岩等。

以弹性模量为例说明统计分析的过程：在实际统计中,首先用概率纸法、直方图法等近似估计出随机变量的理论分布函数，估计分布总体的参数，得到岩石力学参数的概率分布作为验前密度函数 ，并可用 或 检验等方法进行拟合优良性检验；然后根据金坛盐矿岩盐层岩石物理力学性质试验结果进行极大似然估计作为样本似然函数 ；最后采用Bayes公式对正态分布参数 进行优化，将 、 、 、 的值代入式(6)，(7),可得正态分布的验后密度函数 ,其均值、方差分别为 和 。表1为岩石力学参数的bayes优化成果表。

表1岩石力学参数的bayes优化成果表

力学参数 似然函数

验前密度函数

验后密度函数

在通过总结以往试验资料、获得大样本(n≥50)数据的情况下,利用各种检验法对样本概率分布型式进行拟合是一种简单、可靠的方法。随着样本容量的增大,可获得更优的概型分布参数,以此概型分布为先验分布,对具体工程的小样本数据,利用Bayes方法进行概型分布参数的优化,达到岩土工程设计参数优化的目的,是可行的.尤其对先验分布是正态分布的情况,该方法计算简单,更具优越性.

参考文献

[1]李少龙，朱国胜，定培中，张文三. 堤防土体渗透参数的概率分布研究[J].长江科学院院报，2009，26(4)：36-39

[2]孙荣恒. 应用数理统计[M]. 北京：科学出版社，2003

[3]毕忠伟. 岩体力学参数推断的Bayes方法及截尾可靠度的研究与应用[D].博士论文.中南大学，2008，(5)

[4]王俊杰，陈爱玖，姬凤玲，董金梅. 岩土参数的概率分布拟合及Bayes方法优化[J]. 华北水利水电学院学报，2004，25(2)：51~54

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