基于时域有限差分法的微带天线分析

高红友，于少鹏，姜 宇

（1.船舶重工集团723所，扬州225001，2.天津大学仁爱学院，天津301636，3.哈尔滨工程大学，哈尔滨150001）

0 引 言

微带天线是由导电介质薄片粘贴在导体接地板背面介质基片上形成的天线，具有重量轻、成本低、平面设计、可以与集成电路兼容等优点，目前各式各样的微带天线被工程人员设计出来，获得了广泛的工程应用［1］。为了正确设计或选择微带天线，需要得到天线的电参数，而根据设计指标对其进行电磁特性分析决定着设计出天线的精确度。随着计算电磁学的发展，目前已经提出矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、边界元法（BEM）以及时域有限差分方法（FDTD）等数值方法对电磁问题进行求解，快速准确地计算复杂微波元器件、天线辐射元及天线的数值解成为可能［2］。1966年美国学者Yee提出的FDTD由于理论成熟，倍受关注，也早已应用到天线的分析和设计中［3－4］。本文对FDTD的计算过程进行了较详细的推导，并将其应用到微带天线分析中。

1 FDTD基本方程

1.1 Maxwell方程

微带天线的电磁特性分析过程本质上是结合实际电磁参数求解Maxwell方程的过程。Maxwell旋度方程为：

式（1）和式（2）2个旋度方程式是最基本的，也是研究电磁场问题的出发点。

将式（1）和式（2）电磁场矢量在直角坐标系中可写成x，y，z分量，有：

式中：ε为介质介电常数；σ为电导率；μ为磁导率；ρ为磁阻率。

这6个偏微分方程（式（3）～式（8））是研究FDTD的理论基础。

1.2 FDTD基本单元

FDTD法通过微分差分的方法建立式（3）～（8）的差分方程，而建立差分方程的先决条件是构建合理的连续变量离散化的网格单元体系，FDTD基本单元就是一个经典的网格体系［5］，这为后续深入研究奠定了基础，其直角坐标系的网格示意图如图1所示。

图1 直角坐标系中的FDTD基本单元

从图1可以看出E和H各分量在网格空间相互交叉，每个坐标平面上的E分量由4个H分量所环绕，同时每个H分量也由4个E分量所环绕，电磁相互交换。

1.3 FDTD差分方程

FDTD基本单元利用矩形网格进行空间离散，在一个FDTD网格单元中首先对每个节点编号处理，节点的编号和空间坐标位置点有下列关系：

则该点的函数式F（x，y，z，t）在时刻nΔt的值可写为：

式中：Δx，Δy，Δz分别为x，y，z方向空间步长；Δt为时间步长。

采用差分式代替对时间和空间的微分，即：

按照式（11）和式（12）的形式，式（3）～式（8）可化为FDTD差分方程，以式（5）和式（8）为例得到差分式（13）和（14），其他公式的差分格式可类似写出：

2 FDTD建模及结果分析

下面以微带天线为例进行FDTD建模分析，微带天线辐射单元尺寸为25.15mm×16.3mm，基板材料为聚四氟乙烯纤维板，其相对介电常数εr＝2.33，基板厚度为0.787mm，其结构如图2所示。

图2 微带天线结构示意图

利用Matlab软件编写FDTD程序完成计算，具体FDTD建模步骤如下：

（1）确定空间步长，采用等长空间步长设置，网格细化 Δx＝0.465mm、Δy＝0.359mm，Δz＝0.202mm，整个微带天线空间为100Δx×60Δy×26Δz，将空间步长代入时间步长必须满足Courant稳定性条件的计算公式，得到Δt＝0.548 8ps；

（2）设置吸收边界，这里设置10层，在FDTD计算空间截止边界区域设置；

（3）设置激励源，采用高斯脉冲形式，激励源的激励位置在（0，30，0）处。

得到时间步长为100，500，1 000，2 000时电场强度分布，如图3所示。

图3 不同时刻微带天线的电场分布

由电场强度分布得到微带天线输入端反射波和入射波曲线，从图4中可见由于吸收边界不可能完全吸收，还存在一定的反射，产生误差，随着计算时间的增加，反射波逐渐衰减，影响计算精度有限，再经过FFT变换得到反射系数S11变化曲线，如图5所示。FDTD计算结果与电磁仿真软件XFDTD比较，两者数据比较吻合，满足计算精度。

3 结束语

微带天线是现代微波技术在天线领域的重要应用，已广泛应用在电子、雷达、导航以及无线电设备上。为了正确设计微带天线，需了解天线的电性能参数，用数值方法对微带天线进行分析，精确度高，可以大大降低天线设计时间。

图4 天线输入端入射波和反射波

图5 天线反射系数S11

本文介绍常用的时域有限差分方法分析微带天线，导出FDTD的计算过程，总结出FDTD分析问题的一般步骤，最后，又用FDTD分析了一款微带天线，得出不同时刻天线的电场分布和天线回波损耗S11，数值结果和仿真结果比较吻合，可以看出利用FDTD分析无疑利于设计微带天线，这对FDTD分析电磁问题提供了一定的参考依据。

［1］钟顺时.微带天线理论与应用［M］.西安：西安电子科技大学出版社，1991.

［2］刘波，高本庆.电磁场时域数值方法及其混合技术概述［J］.微波学报，2006，22（2）：1－6，25.

［3］葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2005.

［4］姚广锋，王积勤，刘刚.采用PML的FDTD方法对矩形微带天线的研究［J］.现代雷达，2003（11）：36－38.

［5］Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302－307.