Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理

卜香娟

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理

卜香娟

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

在Banach空间中,利用迭代方法,研究了满足一定条件的序压缩算子的一些性质,获得了一类序压缩映射的不动点定理,证明了相应的结果,推广和改进了原有的结论,使其应用范围更加广泛.

序Banach空间;正规锥;不动点;序压缩算子

1 引言及基本概念

近年来,很多学者研究了实Banach空间以及序Banach空间[1]中序压缩映射的不动点定理,文献[2]引入了几种按序压缩的压缩性映射,并证明了相应的不动点定理,本文在较弱的条件下讨论了一类序压缩映射的不动点定理并给出了证明,推广了已知的结果.

定义1.1[3]设E是Banach空间,P为E的子集,若P满足:

(i)P是非空凸子集

(ii)∀x∈P以及∀λ＞0,λx∈P;

(iii)若x∈P且-x∈P,则x=θ.

则P是一个以θ为顶点的锥.给定E中的锥P,可以定义E中的偏序关系:

若x,y∈E,y-x∈E,则称x≤y.若P是E中的锥,若存在常数N＞0,使得对θ≤x≤y,有‖x‖≤N‖y‖,则称P是正规的,N为正规常数.

定义1.2[3]设“≤”是由锥P确定的半序,对u,v∈E,若有u≤v或v≤u之一成立,则称u和v是可比较的.当u和v是可比较时,若v≤u,则记u∨v=u;若u≤v,则记u∨v=v.

引理1.1[2]若u和v是可比较的,则u-v和v-u也是可比较的,且

引理1.2[2]若u和v,u和w,v和w是可比较的,则引理1.3[2]若对所有的n,u和vn是可比较的,且vn→v0,则u和v0是可比较的.

引理1.4[2]若对所有的n,un和vn是可比较的,且

则u0和v0是可比较的.

2 主要结果

定理2.1[47]设E是实Banach空间,P为正规锥,正规常数为N,设映射A:E→E满足:

(i)∀u,v∈E,若u和v是可比较的,则Au与Av也是可比较的;

(ii)存在单调递增的映射α(t):[0,∞)→(0,1),使得

(iii)存在x0∈E,使得∀n,x0和Anx0是可比较的,则A存在不动点,且迭代序列{Anx0}收敛于A的一个不动点x*,进而

由条件(ii),当n=1时,x0与Ax0是可比较的,又由条件(i),

是可以比较的,即x1与Ax1是可以比较的,由归纳法得:∀n,xn与Axn是可比较的,且由P的正规性及引理1.4,存在与范数‖·‖等价的范数‖·‖1,关于P是单调的,即存在0＜µ＜λ,使得:µ‖·‖1≤‖·‖≤λ‖·‖1,所以由α的单调递增性得:α(‖·‖)≤α(λ‖·‖1).

由条件(i)得:

令t=λ‖x1-x0‖1,则结论成立.

定理2.2设E是实Banach空间,P为正规锥,正规常数为N,设映射A:E→E连续,且满足:

(i)∀u,v∈E,若u和v是可比较的,则Au与Av也是可比较的,又有u和Au是可比较的,v和Av是可比较的;

(Av-Au)∨(Au-Av)≤α(‖u-v‖)((Au-u)∨(u-Au)+(Av-v)∨(v-Av));

(iii)存在x0∈E,使得对x0与Ax0是可比较的,则A存在不动点,且迭代序列{Anx0}收敛于A的一个不动点x*,进而

由条件x0与Ax0是可比较的及条件(i)归纳得出:∀n,xn与Axn是可比较的,由P的正规性及引理1.4,存在与范数‖·‖等价的范数‖·‖1,关于P是单调的,即存在0＜µ＜λ,使得:

令t=λ‖x1-x0‖1,则结论成立.

定理2.3设E是实Banach空间,P为正规锥,正规常数为N,设映射A:E→E连续,且满足:

(i)∀u,v∈E,若u和v是可比较的,则Au与Av也是可比较的,又有u和Au是可比较的,v和Av是可比较的;

(Av-Au)∨(Au-Av)≤α(‖u-v‖)((Au-u)∨(u-Au)+(Av-v)∨(v-Av));

(iii)存在x0∈E,使得对所有n,x0与Anx0是可比较的,则A存在不动点,且迭代序列{Anx0}收敛于A的一个不动点x*,进而

证明如同定理2.2的证明,可证迭代序列xn=Anx0是柯西序列,由于E完备,可设xn→x*∈E,下面证明x*是A的一个不动点.如同定理2.1的证明,可得对所有的n,xn与x*是可比较的,由条件(i),对所有n,xn=Axn-1与Ax*是可比较的.令n→∞,得x*与Ax*是可比较的,从而

上式表明:Ax*=x*,即x*为A的一个不动点.定理的后半部分类似于定理2.2可证明.

定理2.4设E是实Banach空间,P为正规锥,正规常数为N,设映射A:E→E为连续映射,且满足:

(i)∀u,v∈E,若u和v是可比较的,则Au与Av也是可比较的,又有u和Av是可比较的,v和Au是可比较的;

(Av-Au)∨(Au-Av)≤α(‖u-v‖)((Au-v)∨(v-Au)+(Av-u)∨(u-Av));

(iii)存在x0∈E,使得x0与Ax0是可比较的,且x0与A2x0是可比较的.则A存在不动点,且迭代序列{Anx0}收敛于A的一个不动点x*,进而

[1]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科技出版社,2000.

[2]张宪.序压缩映射的不动点定理[J].数学学报,2005,48(5):973-978.

[3]孙秀来,俞国华.一类变序算子的不动点定理的讨论[J].宁波大学学报,2011,24(4):83-86.

[4]张石生.不动点理论及应用[M].重庆:重庆出版社,1984.

[5]李春平,郭春梅.一类变序算子的不动点定理[J].应用泛函分析学报,2007,9(5):259-265.

[6]卫亚茹,王海霞,黄梅娟.一类单调算子的不动点定理[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(4):806-809.

[7]彭荣.Banach空间中一类序压缩算子的不动点定理[J].西南民族大学学报,2011,37(1):39-43.

Fixed point theorem s for a class of ordered contraction mapping in ordered Banach spaces

Bu Xiangjuan
(Departm ent of Mathem atics,Northwest University,X i′an 710127,China)

In Banach spaces,by using the iterativem ethod,this paper studies the order contraction m apping, which satisfies some properties.Fixed point theorem s for a class of ordered contraction mapping in Banach spaces are obtained and proved,which extends and im p roves the original results.

ordered Banach spaces,norm al cone,fixed point,order contraction m apping

O177.9

A

1008-5513(2012)03-0333-09

2012-01-09.

陕西省自然科学基金(2012JM1017).

卜香娟(1987-),硕士生,研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC:47H10