锥度量空间中扩张映射的一个新的不动点定理

史晓棠,谷峰

(杭州师范大学理学院,浙江杭州 310036)

锥度量空间中扩张映射的一个新的不动点定理

史晓棠,谷峰

(杭州师范大学理学院,浙江杭州 310036)

为了研究完备的锥度量空间中扩张型映象不动点的存在性和唯一性问题,对满足不同条件的扩张型映象,采用不同的迭代方法,得到了锥度量空间中扩张映射的一个新的不动点定理.这些结果是度量空间中某些经典结果在锥度量空间的进一步推广和发展.

锥度量空间;扩张映射;不动点

1 引言

众所周知,非线性算子不动点的存在性及唯一性研究是非线性分析的重要研究课题之一,而且不动点理论广泛的应用于非线性积分方程和微分方程中[16].扩张型映射是一类重要的非线性映射,关于这类映射不动点的存在性的研究同样备受人们关注.目前,在锥度量空间中有关扩张型映射的不动点的结果微乎其微.文献[7]引进了锥度量空间并且在完备的锥度量空间中证明了Banach压缩映象原理依然成立.随后,文献[8]推广了文献[7]的结果.最近,文献[9-18]在锥度量空间中研究了满足一定压缩条件的非线性算子的不动点的存在性问题,得到了一些新结果.本文主要在完备锥度量空间中研究扩张型映射不动点存在性问题,得到了几个新的不动点定理,本文的结果推广了一些已知的相关结果,而且也是度量空间中某些经典结果在锥度量空间的进一步推广.

在介绍主要结果之前,先介绍一些基本概念和已知结果.

定义1.1设E是一个实Banach空间.P是E中的一个子集,称P是一个锥,如果

(a)P是非空闭凸集且P/={θ},其中θ是E的零元素:

(b)若λ≥0且x∈P,则λx∈P;

(c)x∈P且-x∈P,则x=θ.

设P是E中的锥,由P所定义的半序“≤”如下:若y-x∈P,则x≤y.用x≪y表示y-x∈int P(P的内点集).

定义1.2锥P称为是正规的,若存在常数K＞0,使当θ≤x≤y时,恒有‖x‖≤K‖y‖.

定义1.3锥P称为是正则的,如果X中的每一个递增(递减)序列{xn}都有上(下)界,使得

则存在x∈E使‖xn-x‖→0(n→∞).

显然,每个正则锥都是正规锥.

定义1.4令X是一个非空集.如果映射d:X×X→E满足

(1)θ≤d(x,y)对一切x,y∈X.d(x,y)=θ当且仅当x=y;

(2)d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X;

(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),∀x,y,z∈X.

则称d是X的一个锥度量.而(X,d)称为锥度量空间,它是一般锥度量空间的推广.

令(X,d)是一个锥度量空间,{xn}⊂X.

(4)称{xn}是一个柯西列,若对每一个c∈E且c≫θ,存在正整数N使得对所有的n,m＞N有d(xn,xm)≪c;

(5)称{xn}是一个收敛列,若对每一个c∈E且c≫θ,存在正整数N使得对所有的n＞N有d(xn,x)≪c,其中x∈X,称x是{xn}的极限,记作

锥度量空间(X,d)称为完备的是指对X中的每一个柯西列都在X中收敛.

引理1.1设(X,d)是锥度量空间,E是Banach空间,P⊂E是锥,int P/=∅.设{xn}与{yn}是X中的两个序列,且xn→x0,yn→y0(n→∞).则

证明因为xn→x0,yn→y0(n→∞),所以对任意的c∈E,c≫0,存在正整数N,使当n＞N时,有

由三角不等式可得:

于是,当n＞N时,有

2 主要结果

即Tx*也是Tp,Tq的公共不动点.由x*的唯一性得Tx*=x*,因此x*是T的唯一不动点.

推论2.1设(X,d)是一个完备的锥度量空间,P是E中的正则锥.映射T:X→X是满射并且满足:其中a(t):E+→(1,∞)是单调递增函数,则T在X中存在唯一不动点.

证明在定理2.1中,令p=q=1即可.

定理2.2设(X,d)是一个完备的锥度量空间,P是E中的正则锥.映射T:X→X是满射并且满足:

其中p,q∈ℤ+,a(t),b(t),c(t):E+→[0,∞)是单调递增函数,并且满足a(t)+b(t)+c(t)＞1.如果0＜a(t)/=1,则T在X中存在唯一不动点.

证明类似于定理2.1,可取点列:

对任意的n∈ℤ+,不妨设y2n-1/=y2n且y2n/=y2n+1.这是因为,如果对某个自然数n有y2n-1=y2n,则由y2n-1=Tpy2n知y2n=Tpy2n,于是由(9)式可得:

因为a(t)+c(t)≥a(t)＞0,从而由上式得y2n=y2n+1.又y2n=Tqy2n+1,所以y2n=Tqy2n,因此y2n是Tp,Tq的公共不动点.若还有z∈X也是Tp,Tq的公共不动点,则由条件(9)式有

因0＜a(t)/=1,所以上式仅当y2n=z时成立.故y2n是Tp,Tq的唯一公共不动点.另外,显然有Ty2n=Tp(Ty2n),Ty2n=Tq(Ty2n).即Ty2n也是Tp,Tq的公共不动点,由公共不动点的唯一性知,y2n=Ty2n,即y2n是T的唯一不动点.

同理,若y2n=y2n+1,则y2n+1就是T的唯一不动点.故不失一般性,可设y2n-1/=y2n且y2n/=y2n+1,于是就有

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A new fixed point theorem of expanding mappings in cone metric spaces

Shi Xiaotang,Gu Feng
(Institute of App lied Mathematics and Department of Mathematics,Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036,China)

In order to investigate the fixed points for expandingm appings in com p lete conem etric cone spaces, different iterativemethods used for satisfying different expanding conditions,and several new results are gotten. The resu lts in this paper generalize a few known results.

conem etric space,expanding m appings,fixed point

O177.91

A

1008-5513(2012)03-0349-08

2011-01-08.

国家自然科学基金(11071169);浙江省自然科学基金(Y 6110287);杭州师范大学研究生教改基金.

史晓棠(1984-),硕士,研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC:47H10,54H25