带分布型时滞的分数阶脉冲控制系统的能控性

胡 宏，朱 彦

（1．徐州工程学院 数理学院，江苏 徐州221008；2．安徽大学 数学科学学院，合肥230039）

近年来，分数阶微积分学理论及其应用发展迅猛［1－4］，而分数阶控制系统也吸引了诸多学者的关注［3－10］．实际控制系统中普遍存在时滞现象，而时滞往往会导致控制系统性能的完全改变，因此时滞系统的控制一直是研究的热点问题［3－5］．BALACHANDRAN［4］曾研究了一类带分布型时滞的分数阶控制系统的能控性；最近，GUO［3］又讨论了脉冲分数阶时变系统的能控性．本文在上述研究的基础上，拟探讨带分布型时滞的分数阶脉冲控制系统的能控性问题．考虑下列带分布型时滞的分数阶脉冲控制系统，其状态方程为

其中0＜α＜1，CDα是一个标准的Caputo型微分（具体定义将在下文中给出），状态x∈Rn，第2项积分是关于τ的Lebesgue－Stieltjes积分．给定h＞0，对于函数u：［－h，T］→Rm及t∈J，用ut表示［－h，0］上的一个函数，且定义为ut（s）＝u（t＋s），s∈［－h，0）．A 为n×n矩阵，B（t，τ）是n×m 维矩阵且满足以下3个条件：①对于固定的τ，其每一项关于t是连续的；②对于每一个t∈J，它在［－h，0］上关于τ是有界变差的；③它在（－h，0）上关于τ是左连续的．

1 预备知识

定义1［1］79函数f：［0，＋∞）→R 的γ ＞0 阶Riemann－Liouville分数阶积分为Iγ0＋f（t）＝其中Γ（·）为gamma函数，右边是在［0，∞）上逐点定义的．

定义2［1］80函数f：［0，＋∞）→R 的γ＞0阶Riemann－Liouville分数阶微分为

定义3［1］91函数f：［0，＋∞）→R 的γ＞0阶Caputo分数阶微分为

注11）若f（t）∈Cn［0，∞），则C

2）常数的Caputo导数恒为0．

定义4［1］42含两参数的Mittag－Leffler函数定义为其中α＞0，β＞0，C表示复数域．

注21）当β＝1时，

2）当β ＝1 时，上 述 提 及 的Mittag－Leffler 函 数 的 矩 阵 拓 展 形 式 可 表 示 为Eα（Atα）＝

根据文献［2－4］，可以得到方程（1）的解为

2 主要结论

定义5称系统（1）在［0，tf］（tf∈（0，T］）上为状态能控，是指给定任意两个状态x0，xtf∈Rn，存在一个控制u（t）：［0，tf］→Rm，使得（1）的解满足x（tf）＝xtf．

为方便起见，现引入如下记号：

定理1系统（1）在［0，tf］上能控的充分必要条件是：存在时刻tf＞0，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异．

证明 先证充分性．已知Wc［0，tf］非奇异，须证系统能控．采用构造性方法，由Wc［0，tf］非奇异，可知存在对状态空间中的任一非零状态x0，可构造相应控制输入为

使得u（t）作用下状态x（t）在时刻tf的结果为

因此，当tf∈［0，t1］时，系统（1）在［0，tf］上能控．

使得u（t）作用下状态x（t）在时刻tf的结果为

因此，当tf∈（t1，t2］时，系统（1）在［0，tf］上能控．更一般地，使得u（t）作用下状态x（t）在时刻tf的结果为

这表明系统（1）在［0，tf］上能控．

再证必要性．已知系统（1）能控，须证Wc［0，tf］非奇异．采用反证法，反设Wc［0，tf］奇异，不失一般性，∀tf∈（ti，ti＋1］，存在一个非零状态y，使得yTWc［0，tf］y ＝0，即s）yds＝0，于是yTG（tf，s）＝0，s∈［0，tf］．取

3 举例

考虑下面的分布型时滞的分数阶脉冲线性控制系统：

从而有

其中

通过简单的矩阵计算，对tf＞0，有

是非奇异的；因此，由定理1知，系统（2）在［0，tf］上可控．

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