具复杂偏差变元的一类Liénard方程周期解

2012-07-06 09:42陈月红
关键词:范数时滞算子

陈月红

(广东技术师范学院 计算机学院,广州510665)

近年来,有关Duffing型方程和Liénard型方程方面的研究成果[1-4]已有很多,且因为其在经济学、生态学、控制论等方面的广泛应用而逐渐成为热点.相对而言,关于具复杂偏差变元的时滞Liénard型方程的研究尚不多见.2003年,李鹏程[5]研究了含偏差变元的时滞Duffing型微分方程周期解的存在性.2004年,葛渭高[6]研究了含偏差变元的Liénard型微分方程.作为Liénard方程的特殊形式,笔者[7]曾探讨了含复杂偏差变元的时滞非自治Duffing型微分方程周期解的存在性.在上述工作的基础上,本文拟研究带复杂偏差变元的二阶Liénard型微分方程

周期解的存在性问题.文中定理1是对文献[5]195定理2的推广,并且由于考虑的是具有复杂偏差变元的函数g(t,x),而非g(x)的情形,故定理1中所得方程(1)的周期解的存在性条件与时滞变量τ(t)的关系不同于文献[6]236中的相应结论.

1 预备知识

设X,Y 均为Banach空间.L:DomL⊂X→Y 是线性映射,N:X→Y 是连续映射.若dim Ker L=co dim ImL<+∞及ImL 在Y 中闭,则L 是指标为0的Fredholm 算子.设L 如前所述,则存在连续的投影算子P:X →X 与Q:Y →Y,使得Im P=Ker L,Im L=Ker Q=Im(I-Q),从而L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL 有逆映射Kp.若Ω 是X 中开有界集,当QN(¯Ω)有界且紧时,映射N 是¯Ω 上的L-紧集.又因ImQ 与Ker L 同构,故存在同构映射J:ImQ→Ker L.

引理1[1]26(Mawhin连续性定理) 令L 是指标为0的Fredholm 算子,N 是¯Ω 上的L-紧集,设

则方程Lx=Nx 至少存在一个周期解,当∀x∈∂Ω∩DomL 时.

引理2[8]令CT是由实连续的T-周期泛函x=x(t)构成的集合,则∀x=x(t)∈C(1)(R,R)∩CT及∀ξ∈[0,T],有

引理3[9]设x(t)∈CT,τ′(t)<1,则

记X={x|x∈C(1)(R,R),x(t+T)=x(t),∀t∈R},其范数为‖x‖1=max{‖x‖0,‖x′‖0},其中‖x‖0=maxt∈[0,T]|x(t)|.类似地,令Y={y|y∈C(R,R),y(t+T)=y(t),∀t∈R},范数为‖y‖0=maxt∈[0,T]|y(t)|.易证X,Y 均为Banach空间.定义映射X∩C(2)(R,R)→Y,N:X→Y,并有Lx(t)=x″(t),t∈R,非线性算子Nx(t)=-f(x(t))x′(t)-g(t,x(x(t-τ(t))))+p(t).显然定义投影算子易验证Ker Q=Im L=Im(I-Q),Ker L=ImP.L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL 有一个定义在Kp上的逆映射,且映射L 是指标为0的Fredholm 算子[10]99.设Ω 是X 中开有界集,则映射N 是¯Ω 上的L-紧集[10]99-100.

2 主要结论

定理1设k,c,D>0及以下条件成立:

证明 先设方程

再令x(t)∈CT是方程(1)的任意T-周期解.将x(t)代入方程(4)中,并对方程两边从0到T 积分,得到据积分中值定理,∃ξ∈[0,T],使得g(ξ,x(x(ξ-τ(ξ))))=0.由条件(Ⅳ),得|x(x(ξ-τ(ξ)))|≤D.因|x(ξ-τ(ξ))|∈R,故∃t1∈[0,T],使得|x(t1)|=|x(x(ξ-τ(ξ)))|≤D.由(3)式及Hölder不等式,得

由(5)式,对t从0到T 积分,得

再对(5)式两边平方,得

对上式中的t从0到T 积分,得

另一方面,

在(4)式两边同时乘以x(t),将方程两边对t从0到T 积分,得由此式和(3),(6)式,并应用Hölder不等式,得

其中|p|0=maxt∈[0,T]|p(t)|.另外还可得到

其中b1,b2>0.因故存在a>0,使得b2;从而存在与x 无关的常数M0>0,使得

于是存在M1>0,使得

以及存在M2>0,使得

另外,因x(0)=x(T),故存在t0∈[0,T],使得x′(t0)=0.将方程(4)两边从t0到t积分,得所以|x′(t)|≤由条件(Ⅰ),(6),(7),(8)式,结合Hölder不等式,对任意t∈[0,T],有

即存在M3>0,使得

又由(2),(7)式得

注定理1的条件(Ⅰ)改为(Ⅰ′):|f(x(t))|≤k,∀t∈R,或者将条件(Ⅳ)改为(Ⅳ′):xg(t,x)<0,∀t∈R,|x|>D,定理1的结论仍成立.

例1考虑方程其中于是取则易见定理1中条件(Ⅰ)~(Ⅳ)均满足,故由定理1知该方程至少有一个2-1-周期解.

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