椭球上三维均匀分布的参数估计

张莉莉， 鲁富荣

（1．山西农业大学文理学院，山西太谷 030801；2．山西大学商务学院理学系，山西太原 030031）

0 引 言

均匀分布是概率论中的一个常用分布。目前，有关区间［a，b］上一维均匀分布的研究已有很多成果，对于二维均匀分布的研究，其成果主要有矩形区域和圆内二维均匀分布的参数估计及区域面积的估计［1－3］。文献［4－5］研究了长方体上的三维均匀分布问题，文献［6］考虑了n维球内均匀分布的参数估计问题。文中主要研究椭球上三维均匀分布的参数估计问题，并给出了未知参数与椭球体积的矩估计及参数的最大似然估计和区间估计。

1 定义及引理

定义1 设Ω是空间上的有界区域，其体积为V。若三维随机变量（X，Y，Z）有概率密度

则称（X，Y，Z）在Ω上服从均匀分布。注1：当

引理1 设三维随机变量（X，Y，Z）为来自球x2＋y2＋z2≤a2上均匀分布的总体，a＞0未知，（X1，Y1，Z1），（X2，Y2，Z2），…，（Xn，Yn，Zn）为其n个样本，（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，（xn，yn，zn）为样本值，则球半径a的最大似然估计量为

证明：随机变量（X，Y，Z）的概率密度函数为

令

即L（a）在a＝a（n）时，取到最大值故a的最大似然估计值为

a的最大似然估计量为

注2：本引理用另一方法证明了文献［7］中n＝3的结论。

引理2［7］设随机变量（X，Y，Z）在球x2＋y2＋z2≤a2上服从均匀分布，a＞0未知，则a的置信水平1－α的置信区间为且此区间为用作为枢轴量建立的置信水平为1－α的最短置信区间，其中a∧为a的最大似然估计。

2 参数的矩估计

椭球体积V的矩估计量为

证明：随机变量（X，Y，Z）的概率密度函数为

作广义球坐标变换

则X，Y，Z的2阶原点矩分别为：

即a2＝5E（X2）b2＝5E（Y2）

X，Y，Z的6阶混合原点矩为

即

a2b2c2＝315E（X2Y2Z2）

所以，椭球半轴长a，b，c的矩估计量分别为：

椭球体……