平均非扩张映射Ishikawa迭代收敛的充要条件

顾朝晖，赵志红

（1.广东外语外贸大学 思科信息学院，广州510006；2.北京理工大学 珠海学院数理学院，珠海519085）

1 引言及预备知识

定义1［1］设X是Banach空间，T是X 到X 的映射，若

∀x，y∈D（T），a，b，c≥0，a＋2b＋2c≤1，则称T 为平均非扩张映射.

定义2［2］设X是Banach空间，T为平均非扩张映射.若序列｛xn｝满足

则序列｛xn｝是关于｛αn｝，｛βn｝⊆［0，1］的Ishikawa迭代.

近来，很多作者对Ishikawa迭代收敛性进行研究，在许多文献中得到了很重要的结果，见参考文献［3］－［9］，其中文献［8］和［9］给出了渐近伪压缩等映射的Ishikawa迭代在光滑的Banach空间收敛的充要条件.在这篇文章中，主要证明平均非扩张映射的Ishikawa迭代在一般Banach空间收敛的充要条件.文章的结论扩展了平均非扩张映射的相关性质，更进一步揭示了Ishikawa迭代收敛的本质.

2 主要结论及证明

主要结论如下：

证明：首先来证明序列｛xn｝有界，设F（T）是T的不动点集，p∈F（T），则

化简整理，得

（因为a＋2b＋2c≤1，所以

所以

所以序列｛xn｝为有界序列.下面讨论

从而

因为a＋b＋c≤1－b－c，且c＞0所以1－（a＋b－c）

因此

下面证明定理的充分性：

由于b＞0，因此1－a－2c＞0.

整理，得

因为‖xnk－Txnk‖→0（nk→＋∞）

故‖xnk1－Txnk1‖→0

‖xnk2－Txnk2‖→0（nk1，nk2→＋∞），

因此‖Txnk1－Txnk2‖→0

（nk1，nk2→＋∞），从而｛Txnk｝是柯西列，所以｛Txnk｝

收敛，设Txnk→q，故xnk→q，

而

当nk→＋∞时，有：

‖Tq－q‖≤b‖q－Tq‖＋c‖q－Tq‖，所以（1－b－c）‖Tq－q‖≤0

而1－b－c≥a＋b＋c＞0），所以‖Tq－q‖＝0，q∈F（T）.

因为

‖xn＋1－q‖≤‖xn－q‖≤‖xn－1－q‖

≤…≤‖x0－q‖，所以xn→q.

下面证明必要性：

根据定理的证明，可以得到下面两个推论：

推论2：设X是Banach空间，T是X→X的具有不动点的平均非扩张映射，且b＞0，c＞0则T的Ishikawa迭代序列｛xn｝收敛的充要条件是：‖xn－Tyn‖有收敛于0的子列.

如果将定理中的条件c＞0换成βn＜1，定理结论仍然成立，即

［1］ 张石生.关于Banach空间中平均非扩张映射的不动点理论［J］.四川大学学报，1975，2：67－78.

［2］ S.Ishikawa.Fixed Points by a New Iterations Method［J］.Proc.Amer.Math.Soc.1974，44：147－150.

［3］ 赵汉宾.Banach空间中的平均非扩张映象：不动点的存在理论［J］.数学学报，1979，22（4）：459－469.

［4］ 邓 磊，李胜宏.一致凸Banach空间中非扩张映射的I shikawa迭代［J］.数学年刊，2000，21A（2）：159－164.

［5］ V.Berinde.On the Convergence of the Ishikawa Iteration in the Class of Quasi Contractive Operators［J］.Acta Math.Univ.Comenian，2004，73：119－126.

［6］ Zhaohui Gu，yongjin Li.Approximating Fixed Points of Mean Nonexpansive Mapping in Banach Spaces［J］.Int.J.Pure Appl.Math，2007，40（2）：201－208.

［7］ Zhaohui Gu，Yongjin Li.Approximation Methods for Common Fixed Points of Mean Nonexpansive Mapping in Banach Spaces［J］.Fixed Point Theory and Applications，Volume 2008（2008），Article ID 471532，7pages.

［8］ 王 朝，刘理蔚.渐近伪压缩映象的Ishikawa迭代序列强收敛的充要条件［J］.应用泛函分析学报，2006，8（2）：252－258.

［9］ 薛祖华，顾正刚.－强增生型变分包含的Ishikawa迭代序列强收敛的充要条件［J］.应用泛函分析学报，2010，12（1）：91－96.