《函数的表示方法》教学设计与反思

纪宏伟

（江苏教育学院如皋分院，江苏 如皋 226500）

函数的表示法是高中数学的重要内容，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，使学生更好地体会、领悟与理解数学思想方法（如数形结合、化归等）。同时，数学是人类文化的一部分，函数的多种表示是丰富多彩的社会实际的要求，体现了人们观察世界的一种立场、观点和方法。下面将从5个方面来阐述对这节内容的理解和设计。

一、教材分析

教材从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法。在本节中，教材仍以引进函数概念时所用的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性。解析法表示函数关系时，函数关系简明、清楚，便于用解析式来研究函数性质，体现了透过现象看本质的哲学思想。列表法简洁明了，动态的变量采用静态的数据表示，“输入值”与“输出值”一目了然，体现出“动与静”的辩证关系。图象法能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，表示出数学的美学意义和数形结合的数学思想。在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举社会生活或其他学科中的例子，如银行里的利息表、列车时刻表、公共汽车上的票价表、邮资、出租车费，股市走向图等等，拉近与学生的距离，使学生感受到函数就在身边，感到亲切、自然，加深对函数表示法的理解。教材还通过例子介绍了分段函数的特点及应用，要注意让学生尝试用数学表达式去表达实际问题。

二、教学目标

①明确函数的三种表示方法，在了解函数三种表示方法各自优点、特征的基础上，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。

②通过具体实际，了解简单的分段函数，并能进行简单的应用，培养学生将实际问题抽象转化成数学问题，再去求解数学问题的能力。

③渗透数形结合思想方法，重视知识的形成发展过程，培养学生观察、分析、归纳、总结、表达能力与辩证唯物主义观点，进一步激发学生学习数学的兴趣。

三、学情分析与重、难点

学生在初中已经接触过函数的三种表示方法，但是对于各自的优点和不足，以及根据不同的实际情境来选择恰当的表示函数方法等方面，认识还不够深入、具体、清晰，有些地方甚至有错误认识，如用图像法时盲目地连点连线，以为函数都是可以写出解析式的等等。同时由于学生刚从初中进入高中学习，思维较为单一，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此教师要通过设置问题、创设一些知识情境来帮助学生积极主动地感受、分析和归纳三种方法的各自优缺点，由感性认识上升到理性认识，真正吃透教材，最终能根据不同的实例选择恰当的方法表示函数。这也是向学生渗透数形结合思想方法的重要过程。

本节重点内容是函数的三种表示方法，难点是根据不同的需要选择恰当的方法来表示函数，分段函数的表示及其图像的作法。另外，图像从“图形”方面刻画函数的变化规律，是研究函数性质的重要依据，涉及到数形结合这一重要思想方法，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，因而也构成本节教学的一大难点。

四、教学方法和手段

学生是教学活动的主体，教师的教学活动不仅要使学生学会，更重要的是使学生会学。作为新课程的实施者，在教学方式和引导学生的学习方式等方面应该有所转变，教学过程中应尊重学生学习过程的自主性，更多地给学生自主支配的机会。从“教是为了不教”、“授人以鱼不如授人以渔”等教学理念出发，在教学方法上主要采用启发发现、启发讲解法，避免知识从天而降和咀嚼填鸭式，让学生自然而然地接受新的知识。由于多媒体可以显著增大教学容量、直观性和形象化，实现教学方式多样化，所以有条件的可以借助现代教学手段多媒体进行教学。

五、教学过程

（一）创设情境，引出课题

问题1：同学们已开始了高中物理知识的学习，知道在物理学中的许多公式都是物理学家通过大量的实验获得的。在伽利略时代，物理学家通过大量的实验、观察、归纳和推理后得到，物体在作初速度为零的自由落体运动时，物体下落的距离s随所用的时间t的变化规律。那么，这个规律是怎样的呢？

问题2：观看如下两张图，图1是著名的“遗忘曲线”，图2是某天中，气温随着时间变化的函数图象，请问它们能否表示两个变量之间的关系？若能，是否可以用解析式表示？

问题3：下面是某班A、B、C同学在某一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分，请就表格给定数据对三位同学的学习情况做一个学情分析。

表1 三位同学成绩表

教师从实际情境与认识背景出发，创设内含问题的知识情境，开门见山，在极短时间内指明本节的学习内容，同时，它作为引出知识的载体，能有效地引发学生的思考和内心冲突，激发学习动机，有利于学生的自主学习。

（二）活动探究，形成新知

教师要给以学生自主、合作、创新的时间和机会，充分发挥其主观能动性和学习积极性，让学生自己观察、分析、比较、抽象和概括，突破认知，经历并体验知识的发生发展过程。

问题2中，一个图形是否为函数图象只要看它是否满足函数的定义，显然它们都是函数图象，但是，函数值随自变量的变化没有发生有规律的变化，这样的函数关系不能写出解析式，也就是解析式不存在。

问题3中，把成绩看成测试序号的函数，显然表格区分三位同学的成绩高低不直观，为此我们借助excel，把它们的函数关系用图像来表示出来，见图3，需要说明的是，本例将离散的点用虚线连接，是便于研究成绩的变化特点。由图像可看到A同学成绩稳定，学习优秀，B同学成绩波动起伏，较不稳定，C同学成绩呈上升趋势，学有潜力。显然，用图像法比表格更能直观反映函数值的变化趋势。

在学生形成一定的认识后，教师介绍函数的三种表示方法，即解析法、列表法、图像法就水到渠成了。但是对于三种表示法的各自缺点与不足，仍需要让学生自己去观察、分析、归纳、总结，教师不可越俎代庖。可以设计如下一个表格，让学生在小组讨论、合作交流的基础上自己填空。

表2 函数三种表示方法比较

（三）应用示例，深化知识

知识一旦获得如不及时加以巩固，它就会混淆或遗忘，为此可联系学生的生活实际，从学生已有的生活经验出发，设计如下两个例题，让学生加深对函数表示方法的理解，达到掌握方法、提高能力的目的。

例题1：某种圆珠笔每支2元，买x∈{1，2，3，4，5，6}支笔的钱数记为 y 元，试用三种表示法表示函数y=f（x）。

例题2：某市出租车资费规定如下：

（1）3公里以内（含3公里）5元；

（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加1.2元（不足1公里按1公里计算）。

某线路总里程为5公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并列出表格，画出函数的图象。

例2解答后，教师应及时告诉学生在定义域内不同部分上具有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。该图象呈阶梯状，定义域分段时学生容易有误解，教师可以通过点评、互评、辨析的方式让学生克服画图中的难点。

在本环节中，学生自己交流讨论，在教师的引导、帮助下，得出y与x的函数三种表示方式。这样的教学方式强化了学生的亲身体验，使知识结构在其头脑中得以完善。

（四）归纳总结，回顾反思

函数三种常用的表示方法，解析法简明、全面地概括了变量间的关系，便于运用解析式研究和应用函数的性质，如创设情境中的问题1。但是有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或者根本不存在解析式，如创设情境中的问题2。列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了，成绩表、价格表、银行利息表，采用的就是这种表示方法，但是它只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便，如创设情境中的问题3。图像法能直观形象地表示函数值随自变量变化的变化趋势，可通过图像来研究函数的某些性质，这也是数形结合的好处，但是它有时也存在感性观察不够准确，画面局限性大的缺点。让学生自己归纳总结，回顾反思，将知识点串联起来，完成对该部分内容的完整认识和意义建构。这对学生在实际情境中根据不同需要选择恰当的方法表示函数，发展与深化思维能力是大有裨益的。最后教师应指出解析法、列表法、图象法都很重要，在实际生产与生活中都有着广泛的应用，虽然中学阶段研究的主要是用解析法表示的函数，但不能有所偏颇，像列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，同样值得重视。生活中有很多可以用分段函数的实际问题，要善于从中抽象出数学问题，明确分段函数含义，注意考虑其实际意义。相信通过这样的教学设计，学生基本上能很好地理解了函数的表示方法，达到了课程标准的要求，体现了课改的教学理念。