中学数学中的几个渐近线问题及处理对策

2012-08-28 02:35江苏省昆山中学
中学数学杂志 2012年9期
关键词:渐近线分式中学数学

☉江苏省昆山中学 戈 峰

中学教材中出现“渐近线”这个概念是在“双曲线的简单性质”这节中,概括为:曲线上的动点沿着曲线从某个方向向外延伸时,动点与某条直线无限地接近,但永远不相交,那么称此直线为曲线的渐近线(渗透极限思想).中学数学的许多函数图像和曲线都有渐近线,例如教材中涉及到的初等函数:反比例函数、指对数函数、正余切函数等.学生在学习过程中若能领会渐近线的内涵,就能对掌握某些函数的形状、位置、大小等有很大的帮助.本文对中学数学中有渐近线的一些复杂函数进行讨论,并对处理有渐近线的函数问题提供几种策略.

一、分类讨论

除了教材中我们比较熟悉的反比例函数、指对数函数、正余切函数图像有渐近线外,我们经常碰到图像有渐近线的函数主要有分式函数型与超越函数型.

1.分式函数型.

图1图2

以a>0,d>0,h>0进行分析:

对于①,f(x)关于x=k对称,当x趋向于无穷时,a(x-k)2+h趋向于正无穷,则f(x)趋向于0,所以x轴是f(x)的渐近线.如图3.

对于②,f(x)关于x=k对称,当x趋向于无穷时,a(x-k)2趋向于正无穷,则f(x)趋向于0,当x趋向于k时,a(x-k)2趋向于0,则f(x)趋向于正无穷,所以x轴与x=k是f(x)的渐近线.如图4.

对于③,当x趋向于无穷时,a(x-m)(x-n)趋向于正无穷,则f(x)趋向于0.当x趋向于m和n时,a(x-m)(x-n)趋向于0,则f(x)趋向于正无穷,所以x轴、x=m与x=n都是f(x)的渐近线.如图5.

2.超越函数型.

(1)函数f(x)=xn·ex(n∈Z).

当n=0时,f(x)=ex以x轴为渐近线;

当n>0时,f′(x)=xn-1·ex(n+x),易得f(x)在x=0处取得极小值,在x=-n处取得极大值;n为偶数时,f(x)在x=0处为拐点,在x=-n处取得极小值.而当x趋向于正无穷时,f(x)都趋向于正无穷.x趋向于负无穷时,f(x)趋向于0.所以f(x)=xn·ex以x轴为渐近线,如图6(n=2)和图7(n=3).

二、应对策略

1.思想重视.

在学习函数性质时除了要重视函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点等性质外,也要重视函数图像是否具有渐近线这一性质.

解析:画出图像如图11,图像的渐近线为y=1,要求y=m与y=有两个交点,所以m∈(0,1).

2.取倒数.

解析1:方程的一个解为x=0.

由分式函数型(2)讨论可知,x轴,y轴是g1(x)的渐近线;x=-2,x轴,y轴是g2(x)的渐近线.

因此g1(x)和g2(x)图像如图12.

所以当k>1时,有三个交点,即方程有三个解.又x=0是方程的解,所以当k>1时,方程f(x)=kx2有四个不同的实数解.

解析2:方程的一个解为x=0.

作出函数图像不难得到正确答案.通过取倒数,把分式函数化为整式函数,使复杂函数简单化,而且回避了渐近线,作图就不易犯错.

3.换元.

例3 讨论方程ax3-3x2+1=0的解的情况.

a=0,a=±2时方程有两解;a∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时方程有一解;a∈(-2,0)∪(0,2)时方程有三解.

解析3:分析2虽然很直观,但图13还是很难画出来的,

特别是渐近线,很容易忽略.那么能否避免呢?

函数中的渐近线问题是学生在学习函数时比较容易忽视的,本文针对此问题列举了几类常见函数的渐近线和处理策略.

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