巧建模型 快速解题

☉江苏省新海高级中学 宋秀云

立体几何重点研究的是空间中的点、线、面、体的各种位置关系.在学习中，如何提高空间想象能力是摆在广大学生面前的一个大难题.借助最熟悉的几何体构造模型，可以帮助学生打破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.

一、构造正方体模型解题

例1 如图1，甲烷CH4的分子结构是：碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上（各个面都是正三角形的四面体叫做正四面体，到正四面体四个顶点的距离都相等的点叫做正四面体的中心）.设碳原子与4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ=_____________.

图1

分析：本题如果放在正四面体中直接求解，比较麻烦.先构造一个正方体，如图2，A-BCD为正四面体，正方体的中心就是碳原子，∠DOC即为θ.

图2

评注：正四面体内接于正方体，一般能用正四面体解决的问题都可以借助“正方体”模型解决.

变式：已知三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD，∠BDC=90°，求BC与AD所成的角.

分析：常规方法是借助平行移动找到所求角，但计算复杂.把该三棱锥放到正方体中，如图3，BC与AD的位置关系一目了然，所求角为正方体两条面对角线的夹角.

图3

二、构造长方体模型解题

例2 从点P出发的三条棱PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则过P、A、B、C四个点的球的表面积为_____.

分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，过P、A、B、C四个点的球就是这个长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径.设球的半径为R，则有

变式1：三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直……