考虑负载影响的阶梯形超声变幅杆动力特性

谢欣平， 田阿利，王自力， 尹晓春

(1.江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，镇江 212003;2.南京理工大学 力学与工程科学系，南京 210094;3.南京航空航天大学 航空宇航制造工程系，南京 210016)

变幅杆作为超声加工系统的重要组成部分，主要实现能量传输和聚能作用。变幅杆的振动特性理论分析，通常基于其波动方程，由边值问题定解［1－2］，通过模态分析研究放大系数、位移节点等。Mason［3］首次将变幅杆引入超声加工系统，提出等效网络分析法。在此基础上，发展了用于解决复杂形状变幅杆振动特性的传输矩阵法［4］，四端网络法［5－6］，表观弹性法［7］等。林仲茂［8］对常见形状的变幅杆和复合变幅杆的振动特性进行了系列研究。

近年来，有限元法广泛应用于变幅杆的振动特性研究，例如:采用有限元软件，基于Lanczos法分析变幅杆的振动模态，优化设计包含辅助工具在内的超声加工系统［9］;分析变幅杆的前若干阶振动模态的谐振频率、放大系数及局部共振等问题［10］等。

目前，变幅杆的设计通常按半波、空载考虑，实际应用时再加以调整［11］。然而实际工作状态中的变幅杆接收换能器输入激励，连接加工工具，产生超声波振动，不断撞击被加工表面而成型。为考虑加工件的影响，提高用于精细超声加工的变幅杆加工精度，Neumann［12］研究了超声钻孔过程中不同接触面对结构动力特性的影响。Statnikov等［13］在微秒级范围内测量了实际工作状态下变幅杆的动态应力应变，分析了超声焊接的瞬态响应。值得注意的是，超声加工过程是加工工具与加工件表面高频撞击接触的过程，高频重复撞击接触可能对超声变幅杆动力特性产生影响。

考虑与加工工件表面高频撞击接触过程对结构动力特性的影响，本文研究周期激励作用下阶梯形超声变幅杆的瞬态动力响应，及其对变幅杆放大特性的影响。首先，基于结构动力学，建立阶梯形变幅杆力学模型;通过变幅杆系统与工件的接触过程和分离过程的高频转换，反映超声加工的工作状态;以瞬态波响应法［14－16］分别对接触过程和分离过程动力控制方程进行求解，得到适用于任意级数的阶梯形变幅杆的特征项传递函数，和重复撞击系统的瞬态响应理论解。以工程中常用的三级阶梯形变幅杆为例，分析撞击位移，撞击力，分析了不同频率的外激励下变幅杆重复撞击动力特性和负载工件对变幅杆聚能效果的影响。

1 力学模型

超声加工的过程中，换能器产生超声振动输入给变幅杆，变幅杆作纵向振动将振动位移放大并冲击加工表面(负载)，加工表面在高频的撞击之下逐渐磨损，直至形成所要求的形状。变幅杆为变截面的细长杆件，若不考虑材料的机械耗损，可只考虑一维平面波沿杆的轴向传播，即采用一维波动理论建立相应的力学模型。

图1为一n级阶梯形变幅杆及加工工件的简化系统。变幅杆各阶杆件材料相同，其弹性模量E1和密度ρ1相同，横截面积和长度从输入端到输出端依次为:A1，l1，A2，l2，…，An，ln。为分析加工工件的影响，将其近似简化为一维桩，弹性模量为E2，密度为ρ2，横截面积和长度分别为An+1，ln+1。变幅杆加工过程是变幅杆与工件表面高频重复碰撞接触的过程，其碰撞力学机理可看成为变幅杆与加工工件表面碰撞接触过程和分离过程的高频反复交替发生。

图1 阶梯形变幅杆超声加工结构示意图Fig.1 Illustration of ultrasonic machining

1.1 控制方程

由Lamé-Navier's方程:

在不考虑横向惯性效应影响时，对阶梯形变幅杆的各级杆分段求得其控制方程为:

在控制方程中，位置坐标原点分别建立在各级杆件的左端面处。

1.2 初边值条件

阶梯形变幅杆的各级杆件之间所满足的力连续条件和位移连续条件分别为:

而变幅杆与加工件表面之间的接触面边界条件，则需要根据加工接触和分离两个过程，分别进行讨论。

在接触过程中，变幅杆输出端与加工工件表面满足接触面位移连续和接触力连续的要求，即:

在分离过程中，变幅杆输出端和加工工件表面将成为自由表面，即:

当接触过程结束时，变幅杆右端面与工件左端面的接触压力下降为0。在接触过程的边界条件下，此刻该面的应变从数值上表现为由负转正。故进入分离状态的判断条件为:

当分离过程结束时，变幅杆右端的位移与工件左端的位移又重新相等。在分离过程的边界条件下，此刻变幅杆右端的位移由小于变为大于工件左端的位移。故进入接触状态的判断条件为:

2 解的构造与求解

阶梯形变幅杆的各级杆的位移解可由准确性静态位移解和动态位移解构成，即:

通过构造满足非齐次边界条件的准静态解Uis(xi，t)和满足齐次边界条件的动态解Uid(xi，t)的微分方程，以解决原控制方程非齐次边界条件的问题。

2.1 准静态解

准静态解应满足静力学假设和非齐次边界条件，因而得到接触状态下的准静态解为:

分离状态下的准静态解为:

其中:

2.2 动态解

由控制方程(2)及解的构成形式(8)可得动态解的微分方程:

接触状态下的齐次边界条件和连续性条件化为:

分离状态下的齐次边界条件和连续性条件的处理方法同上。

在接触状态下，根据瞬态波函数法将动态解展开成具有分离变量的形式:

在分离状态下，动态解按变幅杆与工件分别求解，均根据瞬态波函数法展开为分离变量形式:

接触状态下特征函数解为:

系数aij，bij由特征函数的边界条件和连续性条件确定。

所得到的一组关于待定系数的方程组为:

其中:

为使得方程组(18)式有非零解，矩阵行列式值应为零，构成计算加工过程中各阶波数和系统的频率方程。

结合方程组(18)和正交归一化特征式(19)，确定特征函数的待定系数aij，bij。

分离状态下的特征函数的求法同接触状态的相同。值得注意的是，分离状态下的变幅杆动态解应叠加刚性平动项，刚性平动项对应的特征函数为常数。

接触状态下时间函数的求解方法如下:将已求得特征函数的动态解代入微分方程(12)，结合正交归一化特性(19)，得时间函数的微分方程为:

式中，

解得的时间函数为:

其中，qj(0)，(0)由初始条件确定。

分离状态下的时间函数按变幅杆与工件分别求解，求解方法与接触过程相同。在每一次接触状态或分离状态中，时间函数的时间变量采用各自状态内的相对时间坐标，即在绝对时间坐标下，tp，(p=1，2…)记录下了每一次分离及接触的时刻，而时间函数中的时间变量t*=t－tp，(p=1，2，…)，t*为相对坐标，t为绝对坐标。

3 算例与分析

结合工程实际，将变幅杆输出端连接的加工工具简化为变幅杆系统的一部分，即为变幅杆的小端(输出端)。本文研究了45钢三级阶梯变幅杆系统在周期驱动力作用下加工球墨铸铁工件的工况，计算模型如图2所示，各参数如表1所示。基于瞬态波特征函数展开法计算阶梯形变幅杆重复撞击加工的解析解，在Matlab环境中编程，数值计算阶梯形变幅杆在加工过程中的结构动力响应，并比较分析不同外载频率下变幅杆的聚能效果。

图2 数值计算模型Fig.2 Model for numerical calculus

表1 计算模型中的物理参数Tab.1 Physical parameters of the model for calculus

周期驱动力:

3.1 瞬态动力响应

图3为外激励频率ω=40π kHz时，撞击接触面的撞击力与位移的时间历程。从撞击力时间历程可以看出，当变幅杆中由外激励激发的瞬态应力波振面传播到达撞击接触面时，撞击力曲线发生变化，力峰值大于外激励幅值，而变幅杆输出端与加工件表面位移满足位移连续。约经过一个外激励周期后，接触过程结束，变幅杆与加工件分离。此时，撞击力为零，变幅杆输出端不受加工件影响，位移幅值显著增加。由于应力波传播的持续效应，使得分离过程中变幅杆和加工工件位移曲线，均存在波动，波动半周期为应力波在结构中传播一次的时间。t=0.119 ms时，在外激励作用下，发生再次接触。但由于瞬态波的持续效应，使得撞击力时间历程曲线不光滑，存在锯齿状变化。再次分离过程中，发生了幅值小、历程短的次撞击现象［16］。由于接触、分离产生的强间断瞬态波，不断的在结构中传播、反射、透射，使得后续撞击力时间历程和结构响应更加复杂。

3.2 不同外载频率下的聚能效果

不同的外载频率，对变幅杆系统的聚能效果影响显著。本文比较分析了外载圆频率 分别为50 kHz，70 kHz，40 πkHz，208.57 kHz 和 350 kHz 时，阶梯形变幅杆系统的聚能效果。其中70 kHz为变幅杆与工件系统在接触过程中的谐振圆频率;208.57 kHz为阶梯形变幅杆的谐振圆频率。

图3 接触点的位移及撞击力响应Fig.3 Displacement and impact force at the contact interface

当外激励频率为208.57 kHz时，根据文献［8］中的理论，计算得到本算例的变幅杆空载放大系数为Mp=1.72。考虑结构瞬态响应的影响，图4给出了外激励频率为208.57 kHz工况下，分离状态(即空载)时输入输出端的位移变化幅值(消除刚性位移项)。计算得到放大系数的平均值为1.67，小于由振动理论计算得到的空载放大系数Mp。

图5为208.57 kHz工况下接触状态时，变幅杆输入输出端的位移变化幅值，此时输出端位移变化幅值与输入端位移变化幅值之比的平均值约为0.8。对比图4，表明在变幅杆的实际工作中，负载的存在使位移变化明显减弱。

图6为不同频率周期驱动力下，接触过程中变幅杆输入端与输出端的位移曲线。可以看出，当外激励频率显著小于变幅杆谐振频率时，变幅杆分离状态持续时间长，撞击频率下降，且输出位移远小于输入位移，表现出明显的平动状态，不利于超声加工;当外激励频率显著大于变幅杆谐振频率时，变幅杆与工件长期接触，难以形成高频撞击，且输出位移始终小于输入位移，即变幅杆始终受压缩，难以实现加工效果。当外激励圆频率调整为变幅杆的谐振圆频率ω=208.57 kHz附近时，从变幅杆的输出、输入位移曲线，可以看出变幅杆两端为拉伸与压缩状态的高频交替，变幅杆高频撞击工件，为超声加工的理想状态。

图7为不同频率周期驱动力下，接触过程中变幅杆输出力阻抗值的自然对数。力阻抗特性分析表明，变幅杆系统开始工作后，其力阻抗值逐渐过渡至稳定状态。与其他工况相比，外激励频率接近变幅杆谐振频率的情况下，输出力阻抗调整迅速，调整后平稳。这表明，超声加工过程，外激励频率调整为接近变幅杆固有的谐振频率时，具有理想的阻抗匹配特性。

4 结论

根据变幅杆工作状态，考虑与加工工件高频重复撞击负载的瞬态响应影响，研究了阶梯形变幅杆的瞬态动力特性和结构聚能效果。基于动力学，采用瞬态响应法，给出结构瞬态响应解。通过工程常见的三级阶梯形变幅杆的数值计算，得出以下结论:

(1)瞬态响应解能实现对考虑工作负载的超声变幅杆的瞬态动力学研究，分析结果精确可靠。

(2)变幅杆高频撞击工件为超声加工的理想工作状态。通过本文计算比较，负载及瞬态波传播对变幅杆的最优工作频率影响微弱，外激励频率与变幅杆谐振频率相同或接近时，变幅杆为理想工作状态。因此超声变幅杆系统的工作频率(外激励频率)按空载设计［8］是合理的。

(3)与负载重复撞击产生的瞬态响应，对变幅杆实际放大系数有影响，实际放大系数(撞击过程为0.8，分离过程为1.6)低于振动理论空载设计值1.72，表明没有考虑高频波动效应的振动理论预测值偏高。

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