基于ABAQUS 的超声变幅杆设计及有限元分析

汪锐，王艳

（200093 上海市 上海理工大学 机械工程学院）

0 引言

超声振动复合工艺是将传统切削加工与超声振动结合所形成的新型复合加工技术。超声振动复合工艺可以有效降低切削力，减少刀具的磨损，提高加工效率，同时还拓展了难加工材料的应用领域[1]。超声变幅杆是超声振动系统中的重要部件，其主要作用是将换能器输出的振动进行放大，达到需要的振幅，满足超声复合加工的要求[2]。本文通过理论计算设计了阶梯形超声变幅杆，并利用有限元分析软件ABAQUS 对超声变幅杆进行了模态分析及谐响应分析，验证设计的合理性并进行了优化。

1 超声变幅杆的理论计算

本文选择45#钢作为超声变幅杆的材料，其具体材料参数如表1 所示。

表1 45#钢材料参数Tab.1 Material parameters of 45# steel

超声变幅杆的性能可以通过共振频率、放大系数、形状因数等很多参数来描述。其中，放大系数Mp是指变幅杆工作在共振频率时输出端与输入端的质点位移或速度振幅的比值；形状因数φ是衡量变幅杆能达到最大振动速度的指标之一，它仅与变幅杆的形状有关，φ 越大，所能达到的最大振动速度也就越大[3]。如图1 所示，本文设计的变幅杆类型为阶梯形变幅杆。以阶梯形变幅杆的轴线为x 轴建立坐标系，本文中假设不计机械损耗，且变幅杆截面上的应力分布是均匀的。在简谐振动的条件下，变截面杆纵振动的波动方程为[3]

式中：ξ——质点位移函数；S——杆的横截面积函数；k——圆波数，且k=ω/c，ω——圆频率，c——纵波在变幅杆中的传播速度。

图1 阶梯形变幅杆结构示意图Fig.1 Structure schematic diagram of stepped horn

因阶梯形变幅杆由两端不同横截面积的均匀杆组成，所以S 为常数，故式（1）可简化为

对方程求解，可知质点位移函数为

根据连续性可以得知边界条件，进而求出A1，A2，B1，B2，并带入式（3）得质点位移函数

式中：ξi——输入的振动位移；ξo——输出的振动位移；ZL——负载力阻抗；Z0=S1ρc；ρ——变幅杆的密度。当a=b=λ/4（为波长）时，位移节点x0=0，即变幅杆的中心位置。

在波节点等于零处，放大系数

根据实际要求，超声变幅杆的大端直径D1为71 mm，小端直径D2为31 mm。选用超声波发生器的工作频率为20 kHz。根据上述式子，可以计算出阶梯形变幅杆的参数，如表2 所示。

表2 阶梯形变幅杆的参数Tab.2 Parameters of stepped ultrasonic horn

2 超声变幅杆的有限元分析

2.1 超声变幅杆的模态分析

模态分析主要用于计算某个结构件或零件的固有频率和振型，是进行其他动力学分析如谐响应分析、瞬态动力学分析及谱分析的基础[4]，因此，应先对超声变幅杆进行模态分析，确定其固有频率等振动特性。

在动力学问题中，系统的平衡方程为

式中：[M]——质量矩阵；[C]——阻尼矩阵；[K]——刚度矩阵；{Q}——力矢量。

模态是一个机械系统的固有属性，每一个模态都有一个对应的固有频率、振型以及阻尼。模态分析动力学问题的方程为

变幅杆的模态分析中，结构的自由振动为简谐振动，即

由式（10）可得变幅杆的固有频率。应用有限元法对变幅杆进行分析，利用前面计算得到的尺寸参数，在ABAQUS 仿真软件中进行三维实体建模，如图2 所示。接着进行材料属性的设置、创建线性摄动频率分析步、输出前20 阶模态；布种、设置网格属性最后划分网格，如图3 所示。

图2 三维模型Fig.2 3D model

图3 网格划分示意图Fig.3 Mesh diagram

最后提交分析，计算得到超声变幅杆的模态分析结果。图4 是该变幅杆第8 阶到第11 阶的模态振型云图。由图4 可知，在第8 阶、第9 阶模态下，变幅杆的小端发生了弯曲振动；第11阶模态下，变幅杆整体都产生了弯曲振动，均不符合设计要求。第10 阶模态下的振型满足变幅杆纵向振动的要求，且此时振型的固有频率为20 486 Hz，接近设计要求即超声波发生器的输出频率20 kHz。

2.2 超声变幅杆的谐响应分析

谐响应分析是用来分析线性结构在受到按简谐规律变化的载荷时的稳态响应。一般谐响应分析有2 种求解方法：模态叠加法与完全法。采用模态叠加法必须先进行模态分析，提取出无阻尼的特征模态，通过变换得到一组模态坐标表示的单自由度运动方程，求解各个单自由度运动方程，并得到系统在模态坐标下的稳态响应，最后通过变换获得系统在物理坐标下的稳态响应。而完全法则是通过对模型的原始方程直接积分计算[5]。本文采用模态叠加法求解，扫频范围设置为15～25 kHz。在变幅杆大端施加沿轴线方向大小为20 N 的简谐载荷。

图4 不同固有频率下的模态振型图Fig.4 Mode shapes at different natural frequencies

如图5 所示，进行分析之后提取出频率为20 486 Hz 的应变和应力云图。可以看到，应力集中部位和应变集中部位均为大端与小端连接处，最大应力值为238.1 MPa，最大应变为6.0×10-4，使用过程中变幅杆容易因疲劳发生断裂。现对变幅杆的结构进行优化。

图5 阶梯形变幅杆的应力及应变云图Fig.5 Stress and strain cloud image of stepped horn

优化的主要手段为在截面突变处设计一段过渡圆弧[6]。需要注意的是，此时变幅杆结构已经发生改变，意味着固有频率也会随之发生改变，因此，需要重新进行模态分析，在做谐响应分析时，与前面的分析结果进行对比。在变幅杆大端和小端连接处增加一个半径为10 mm 的圆弧。如图6（a）所示，进行建模后，依照2.1 节所述进行模态分析，得到优化之后的变幅杆固有频率为20 456 Hz，接着依照上文所述的谐响应分析步骤进行谐响应分析，得到的应力分布结果如图6（b）所示。可以看到，变幅杆最大应力位置在圆弧与大端连接处，最大值108 MPa。

为了研究不同半径的过渡圆弧对变幅杆的影响，再分别对过渡圆弧半径为14，18 mm 的变幅杆进行模态分析，得到它们的固有频率分别为20 507，20 651 Hz，接着进行谐响应分析，得到各自在其固有频率下的应力云图，最大应力分别为97.2，93.0 MPa。图8（a）是不同圆弧半径变幅杆固有频率变化图，图8（b）是不同圆弧半径变幅杆最大应力值的变化图。从图中可以看出，随着圆弧半径的增大，变幅杆的固有频率逐渐增大，变幅杆最大应力位置向圆弧与变幅杆连接处转移且最大值逐渐变小，说明增加过渡圆弧可以改善应力集中现象，进而降低疲劳效应提高使用寿命。

图6 10 mm 半径过渡圆弧的阶梯形变幅杆Fig.6 Stepped horn with a transition arc of radius 10 mm

图7 不同半径过渡圆弧的变幅杆应力云图Fig.7 Stress nephograms of variable horn with different transition arcs

图8 不同圆弧半径对变幅杆固有频率及最大应力的影响Fig.8 Influence of different arc radius on natural frequency and maximum stress of horn

3 结语

超声技术在实际生产中的应用越来越广泛。作为超声系统的重要部件之一，变幅杆的重要性不言而喻。本文以阶梯形变幅杆为研究对象，利用设计参数对变幅杆进行了理论计算，得到了阶梯形变幅杆的三维模型，接着对其进行模态分析，得到了符合纵振动特性的固有频率，然后进行了谐响应分析。通过分析发现，阶梯形变幅杆大端和小端连接处应力值最大，容易发生断裂，故利用增加过渡圆弧的方法对变幅杆进行了优化。本文对不同半径过渡圆弧对变幅杆的影响也作了分析，结果发现，随着过渡圆弧半径的增大，变幅杆的固有频率逐渐增大，并且最大应力随之减小，说明增加过渡圆弧可以有效改善应力集中问题，延长变幅杆使用寿命。