基于p-Laplace算子的非线性边值问题研究

汪志锋

(安徽工业职业技术学院基础部，安徽 铜陵 244000)

非线性问题具有广泛的代表意义，各领域对非线性问题的研究都具有迫切的需求，在探索解决这些非线性问题的进程中，培育并形成了非线性泛函分析这一重要现代分析学分支，为解决非线性问题提供了有力支持．非线性算子具有连续、有界、全连续、可微等一般性质，在非线性边值条件的应用十分广泛，一类带p-Laplace算子的非线性边值问题在物理学等领域具有广泛应用［1-2］．

考虑如下带p-Laplace算子的微分方程边值问题：

当p=2时，则方程组(1)可化为带非线性边值条件的二阶微分方程组;当p≠2时，则方程组(1)变得更为复杂和多变，也成为各类问题研究的热点之一．文献［3-4］讨论了运用全连续算子的不动点指数定理获得正解的条件;文献［5-6］提出利用临界点理论探讨有非线性边界条件常带p-Laplace算子的微分方程在强制条件下解的存在情况等．笔者分析p-Laplace算子边值问题多个正解的存在性．

1 问题的提出

则称β0为边值问题(1)的上解．

根据上述所讨论的问题，对边值问题(1)改进如下：

其中，r，r*∈R．

2 主要结果

这里，我们假设(A1)0≤r＜1，0≤r*＜1，f∈ C(［0，T］，R+)，g*≥0 ．

假设条件(H1)～(H3)均满足，则有如下结论：

引理 1 如果 0≤ a ＜ 1，f∈ C(［0，T］，R+)，那么边值问题

有唯一解 u(t) ，且 u(t) ≥0，t∈［0，T］．

推论 1 如果 0≤ a ＜ 1，f∈ C(［0，T］，R+)，则边值问题：

有唯一解 u(t) ，且 u(t) ≥0，t∈［0，T］．

设 α0，β0∈C ，若对于任意的 t∈［0，1］，都有α0(t)≤β0(t) ，则记为α0≤β0．下面，我们通过证明来给出(1)式的主要结果．

定理1 我们假设条件(H1)～(H3)均满足，且 (A4)α0，β0分别为 BVP(1)的上下解，满足：α0(t) ≤ β0(t)，［0，T］，则存在单调序列{αn(t)}(非减序列)，{βn(t)}(非增序列)，分别一致收敛于BVP(1)在序区间{α0，β0}上的极值解．

证明……