一类非线性双曲方程的整体解

严 勇

(四川民族学院数学系，四川 康定 626001)

本文研究如下一类非线性双曲方程的初边值问题：

其中：Ω⊂Rn(n≥1)是具有光滑边界∂Ω的有界区域，γ ≥0，δ≥0，β ＞ 0，α，β，γ 均为常数．方程(1)被称为带耗散项和强阻尼的Kirchhoff方程．一般我们作如下的假设：

(H1)m(s)∈C1(［0，+∞))，且存在常数m0，使得对任意的s≥0有m(s)≥m0≥1;

当γ=0，δ=0，β=0时，此方程解的存在性被许多作者研究过［1-2］．当 n=1，m(s)=a+bs(a，b ＞ 0) 时，Kirchhoff G［1］在1883 年研究弦的横截运动时，提出如下的数学方程，即：

其中：L表示弦的长度．当γ=0，δ=0，β=1时，文献［4］利用Galerkin方法和势井理论得到了方程局部解的存在性与唯一性．当δ=0时，文献［5］利用Galerkin方法和势井理论，得到了在小初值条件下，局部解的存在性与唯一性．当m(s)=1时，其研究结果可见文献［6-7］．陈冬贵［8］研究了具有Lipschitz连续系数的非齐次kirchhoff方程的Cauchy问题．

本文考虑的函数都是实函数，当不引起混淆时，我们略去 u(x，t)，ut(x，t) 中的 x，并分别记为u(t)，u'(t)．当2≤p≤∞ 时，记‖·‖p为Ω上Lp的范数．特别地，L2(Ω)上的范数和内积分别记为‖·‖2和(·，·)．由于方程(1)中含有常数 α，β，γ，文献［4］和［6］构造的能量泛函不适合该问题(1)～(3)．我们将构造新的能量泛函，引进稳定集的概念，利用Galerkin方法和改进的势井理论，得到问题(1)～(3)解的局部存在性．

1 预备知识

首先，定义如下的能量泛函：

这样初始能量泛函为：

构造函数

［1］Kajitani K，Yamaguti K．On global real analytic solutions of the degenerate Kirchhoff equation［J］．Ann．Sc．Sup．Pisa，1994(4)：279-297．

［2］Hirosa F．Global solvability for the degenerate Kirchhoff equation with real-analytic data in Rn［J］．Tsukuba J．Math．，1997(21)：483-503．

［3］Kirchhoff G．Vorlesungen über mechnik［M］．Teubner，Leipzig，1883．

［4］李庆霞．一类非线性双曲方程的局部解存在性［J］．数学研究，2002(2)：175-180．

［5］严勇，姚莉．一类非线性双曲方程的局部解［J］．四川师范大学学报：自然科学版，2004，27(5)：497-500．

［6］Todorova G．Stable and unstable sets for the cauchy problem for a nonlinear wave equation damping and source terms［J］．J．Math．Anal．Appl．1999，239：213-226．

［7］Todorova G．Cauchy problem for a nonlinear wave equation with nonlinear damping and source terms［J］．Nonliear Anal．，2000，41：891-905．

［8］陈冬贵．具有Lipschitz连续系数的Kirrchhoff方程［J］．数学学报，1998，41(2)：337-346．