参数边界条件下奇型Sturm-Liouville算子的半逆问题

王於平， 肖建强

（1.南京林业大学应用数学系，南京 210037； 2.南京工程学院土木工程系，南京 211100）

参数边界条件下奇型Sturm-Liouville算子的半逆问题

王於平1， 肖建强2

（1.南京林业大学应用数学系，南京 210037； 2.南京工程学院土木工程系，南京 211100）

谱；势函数；半逆问题；参数边界条件

1 引言及预备知识

在谱理论中，反谱问题是热点问题之一，1929年Ambartsumyan［1］首次研究了这类问题，1946年以后，Borg［2］，Levinson［3］，Levitan［4］等都做了大量的工作；近几年，Sakhnovich［6］，Rostyslav，Mykytyuk，Yaroslav［7］，Koyunbakan，Panakhov［8-9］等研究了半逆问题并取得了一些可喜的成果；Fulton［11］，Binding，Browne，Seddighi［12］，Binding，Browne，Browne，Waston［13］，Zhang，Huang［14］等研究了参数边界条件下Sturm-Liouville的问题，取得了一些有一定影响的成果.由于参数边界条件下Sturm-Liouville的问题比较复杂，这类问题的半逆问题难以解决，文［13］利用Crum和Darboux变换解决了一类Sturm-Liouville问题的特征根的重数、估计式等问题，使研究这类参数边界条件下的奇型Sturm-Liouville算子的半逆问题变为可能，本文利用Koyunbakan和Panakhov的方法和［13］的结果，讨论（0，π）上的势函数中含1／sin2x的Sturm-Liouville算子L满足参数边界条件y（0，λ）＝0或y′（0，λ）-hy（0，λ）＝0和y′（π，λ）＋（aλ＋b）y（π，λ）＝0的半逆问题，得到了新的结果，即由一组谱和（π／2，π）上的势函数q（x）唯一确定（0，π）上势函数的q（x）.本文推广了文［9］的结果.

我们先介绍势函数中含1／sin2x的Sturm-Liouville算子［5］.Legendre函数是典型的超几何函数，它是在球对称问题中产生的，这类算子是由经典的Legendre方程经过下面变换得到的.Legendre方程是

根据［13］的结果，满足（8），（9（i）），（10）和（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville问题的特征值有三种情况，经过Crum和Darboux变换，其它两种情况都可以转化为满足（8），（9（i）），（10）和（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville问题仅具有实的、简单的点谱.因此，我们只要考虑满足（8），（9（i）），（10）和（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville问题具有实的、简单的点谱｛λn｝.根据［5，13，14］，不难得到

引理3 （i）当（10）中a≠0时，设满足（8），（9（i）），（10）的Sturm-Liouville问题具有实的、简单的点谱｛λn｝（n≥0），则｛λn｝是（10）的根，并满足下面渐近式

（ii）当（10）中a≠0时，设满足（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville问题具有实的、简单的点谱｛λn｝（n≥0），则｛λn｝是（10）的根，并满足下面渐近式

根据［5］，可以得到

引理4［5］当（10）中a＝0时，满足（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville问题具有实的、简单的点谱｛λn｝（n≥0），则｛λn｝是（10）的根，并满足下面渐近式

根据［15］，利用变换算子性质，可以得到

引理5 方程（8），（9（ii））的解可写为

其中积分核A（x，t）是下面的偏微分方程的解

2 主要结果

下面证明本文的定理1及定理2.

定理1的证明 根据引理1，方程（8），（9（i））和（11），（12（i））的解分别为

类似地可以证明定理2，不再赘述.

［1］ Ambartsumyan V A.Über eine frage der eigenwerttheorie［J］.Zeitschrift für Physik，1929，53：690-695.

［2］ Borg G.Eine umkehrung der Sturm-Liouvillesehen eigenwertaufgabe［J］.Acta Mathematica，1945，78：1-96.

［3］ Levinson N.The inverse Sturm-Liouville problem［J］.Mathematica Tidsskrift 13，1949，25-30.

［4］ Levitan B M.On the determination of the Sturm-Liouville operator from one and two spectra［J］.Mathematics of the USSR Izvestija，1978，12：179-193.

［5］ Hochstadt H.The Functions of Mathematical Physics［M］.New York：Wiley Interscience，1971.

［6］ Sakhnovich L.Half inverse problems on the finite inteval［J］.Inverse Problems，2001，17：527-532.

［7］ Rostyslav H，Mykytyuk O，Yaroslav V.Half-inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials［J］.Inverse Problem，2004，20（5）：1423-1444.

［8］ Koyunbakan H，Panakhov E S.Half-inverse problem for diffusion operators on the finite interval［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，326：1024-1030.

［9］ Koyunbakan H，Panakhov E S.Half-inverse problem for operators with singular potential［J］.Integral Transforms and Special Functions，2007，18（10）：765-770.

［10］ Hochstadt H，Lieberman B.An inverse Sturm-Liouville problem with mixed given data［J］.SIAM Journal of Applied Mathematics，1978，34：676-680.

［11］ Fulton C T.Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions［J］.Proc.Edinb.Math.Soc.1977，77A：293-308.

［12］ Binding P A，Browne P J，Seddighi K.Sturm-Liouville problems with eigenparmeter dependent boundary condtions［J］.Proc.Edinb.Math.Soc.1993，37：57-72.

［13］ Binding P A，Browne P J，Bowne W J，Watson B A.Transformation of Sturm-Liouville problems with decreasing affine boundary conditions［J］.Proc.Edinb.Math.Soc，2004，47：533-552.

［14］ Zhang Mao zhu，Huang Zhen you.aclass of sturm-liouville problems with eigenparameter dependent two boundary conditions［J］.Acta Analysis Functionalis Applicata，2008，10（4）：366-372.

［15］ Levitan B M and Sargsjan I S.Sturm-Liouville and Dirac operators［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1990.

Half-inverse Problem for Singular Sturm-Liouville Operators with an Eigenparameter Boundary Condtion

WANG Yu-ping1， XIAO Jian-qiang2
（1.Department of Applied Mathematics，Nanjing Forestry University，Nanjing，Jiangsu 210037，China；2.Department of Civil Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing，Jiangsu 211100，China）

spectrum；potential function；half-inverse problem；eigenparamenter boundary condtions

O175.12

A

1672-1454（2012）03-0053-06

2009-12-04