一类变分包含组解的强收敛定理

史 杰,冯世强,何中全

(西华师范大学数学与信息学院，中国 南充 637009)

设E是Banach空间,E*是其对偶空间,正规对偶映射J:E→2E*如下定义:

J(x)=f∈E*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2,x∈E，

其中,当E是严格凸的光滑的Banach空间时,J和J-1是单值的[1].

设E是光滑的Banach空间,函数φ:E×E→R如下定义:

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,∀x,y∈E.

由于〈x,Jy〉≤‖x‖‖Jy‖=‖x‖‖y‖,于是(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y),即φ(x,y)≥0.

设E是严格凸且光滑的自反Banach空间,C是E中非空闭凸集.那么对任意的x∈E,存在唯一的x0∈C使得[1]

φ(x0,x)=minφ(y,x),y∈C.

本文称x0是x在C上的投影.定义投影算子∏C:E→2C如下

∏C(x)=y∈C:φ(y,x)=minφ(z,x),z∈C,x∈E.

设E是Banach空间,E*是其对偶空间,集值映射M:E→2E*,若满足

〈x-y,f-g〉≥0,∀x,y∈E,f∈Mx,g∈My，

则称M是单调的.若M满足

(1)M是单调的;

(2)对(x,f)∈E×E*,〈x-y,f-g〉≥0,∀y∈E,g∈My,必有f∈Mx.

则称M是极大单调的.

设E是Banach空间,E*是其对偶空间.若映射T:E→E满足

φ(Tx,Ty)≤〈Tx-Ty,Jx-Jy〉,∀x,y∈E，

则称T为确定非扩张的.易得,T为确定非扩张的等价于

〈Tx-Ty,JTx-JTy〉≤〈Tx-Ty,Jx-Jy〉,∀x,y∈E.

若映射B:E→E*满足

(1)η:E→E为任意一个确定非扩张映射;

(2)对任意λ≥0,有

〈η(J-1(Jx-λBx))-η(J-1(Jy-λBy)),Bx-By〉≥0,∀x,y∈E.

则称B为广义单调的.显然,广义单调映射必是单调的.

设Bi:E→E*是单值映射,Mi:E→2E*是多值映射,i=1,2,…,N,θ是零元素.本文研究如下的变分包含组问题(VISP):

VISP 求x∈E,使得

当Bi≡B,Mi≡M,VISP问题变为如下变分包含问题(Ⅵ):

VI 设B:E→E*是单值映射,M:E→2E*是多值映射,θ是零元素,求x∈E,使得θ∈B(x)+M(x)成立.

下面给出本文所需的一些引理.

引理1[2]设M:E→2E*是极大单调映射,B:E→E*是Lipshitz连续映射,则S=M+B:E→2E*是极大单调映射.

引理2[1]设E是严格凸的光滑实自反Banach空间,C是E中非空闭凸集,令x∈E,那么对任意y∈C,有φ(y,∏Cx)+φ(∏Cx,x)≤φ(y,x).

引理3[3]设E是严格凸的光滑实Banach空间，xn、yn都是E中子列，xn或yn是有界的且

φ(xn,yn)→0,n→∞,那么有xn-yn→0,n→∞.

引理4[1]令C是一光滑实Banach空间E凸集,令x∈E,那么x0∈∏Cx当且仅当

〈z-x0,Jx0-Jx〉≥0,∀z∈C.

1 主要结果

本节将通过构造非扩张映射,得到新的迭代算法，使之产生的序列收敛到变分包含组问题的解.本文工作推广和改进了文献[2]、[4～10]中的一些结果.

其中Mi:E→2E*是极大单调映射,Bi:E→E*是Lipshitz连续映射,λi>0.

即

再由Mi的极大单调性得

(1)

又由于φ(z2,z1)+φ(z1,z2)≥0得

0≤‖z2‖2+‖z1‖2-2〈z2,Jz1〉+‖z1‖2+‖z2‖2-2〈z1,Jz2〉=2(‖z2‖2+‖z1‖2-

〈z2,Jz1〉-〈z1,Jz2〉)=2(〈z2,Jz2〉+〈z1,Jz1〉-〈z2,Jz1〉-〈z1,Jz2〉)=2〈z2-z1,Jz2-Jz1〉.

即

〈z2-z1,Jz2-Jz1〉≥0.

(2)

引理6设E是Banach空间,E*是其对偶空间,对一切i=1,…,N,∀x∈E,有下面结论成立:

对任意x,y∈E,由Mi的极大单调性得

由Mi的极大单调性得

即

因此

证毕.

接下来构造如下算法W：

其中,0≤ηn≤e对任意0≤e<1,i=0,1，…，n.

证分4步来证明.

(3)

由于xn=∏Cn(x0),根据引理2,得

φ(xn,x0)≤φ(p,x0)-φ(p,xn)≤φ(p,x0),φ(xn,x0)≤φ(xn+1,x0),∀n≥0.

φ(xn+m,xn)=φ(xn+m,∏Cn(x0))≤φ(xn+m,x0)-φ(xn,x0).

故有

2‖p‖‖Jzn-Jxn‖).

任取(vj,gj)∈Bj+Mj,即gj-Bj(vj)∈Mj(vj).由Mj的极大单调性得

参考文献：

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